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    【题目】下面是小王同学“过直线外一点作该直线的平行线”的尺规作图过程．

    已知：直线l及直线l外一点P．

    求作：直线，使得．

    作法：如图，

    ①在直线l外取一点A，作射线与直线l交于点B，

    ②以A为圆心，为半径画弧与直线l交于点C，连接，

    ③以A为圆心，为半径画弧与线段交于点，

    则直线即为所求．

    根据小王设计的尺规作图过程，，

    （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

    （2）完成下面的证明．

    证明：∵，

    ∴，（______________________）（填推理的依据）．

    ∵__________，

    ∴．

    ∵，

    ∴．

    ∴（____________________）（填推理的依据）．

    即．

    【答案】（1）见解析（2）等边对等角．．同位角相等，两直线平行．

    【解析】

    （1）根据题目提供的作法作图即可；

    （2）利用等边对等角可得和，再根据三角形内角和定理可得，进而得出结论.

    （1）补全图形如图所示：

    （2）证明：∵，

    ∴，（____等边对等角___）（填推理的依据）．

    ∵______，

    ∴．

    ∵，

    ∴．

    ∴（____同位角相等，两直线平行____）（填推理的依据）．

    即．

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    【题目】已知：如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．

    （1）求证：△BDE∽△CAD；

    （2）若CD=2，求BE的长．

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    【题目】如图，在中，，，，以点为圆心，6为半径的圆上有一个动点．连接、、，则的最小值是_________．

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    【题目】中，是的中点，点在上（点不与重合），过点的直线交于，交射线于点，设，．

    （1）如图1，若为等边三角形，点与重合，，求证：；

    （2）如图2，若点与重合，求证：；

    （3）如图3，若，，，直接写出的值．

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    【题目】如图，在中，，延长使，线段绕点C顺时针旋转90°得到线段，连结．

    （1）依据题意补全图形；

    （2）当时，的度数是__________；

    （3）小聪通过画图、测量发现，当是一定度数时，．

    小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

    想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形补全成为正方形，就易证，因此易得当是特殊值时，问题得证；

    想法2：要证，通过第（2）问，可知只需要证明是等边三角形，通过构造平行四边形，易证，通过，易证，从而解决问题；

    想法3：通过，连结，易证，易得是等腰三角形，因此当是特殊值时，问题得证．

    请你参考上面的想法，帮助小聪证明当是一定度数时，．（一种方法即可）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图1，等边三角形中，D为边上一点，满足，连接，以点A为中心，将射线顺时针旋转60°，与的外角平分线交于点E．

    （1）依题意补全图1；

    （2）求证：；

    （3）若点B关于直线的对称点为F，连接．

    ①求证：；

    ②若成立，直接写出的度数为_________°．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】2020年新冠肺炎疫情发生以来，我市广大在职党员积极参与社区防疫工作，助力社区坚决打赢疫情防控阻击战.其中，A社区有500名在职党员，为了解本社区2月—3月期间在职党员参加应急执勤的情况，A社区针对执勤的次数随机抽取50名在职党员进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．

    次数x/次

    频数

    频率

    0 ≤x< 10

    8

    0.16

    10≤x< 20

    10

    0.20

    20≤x< 30

    16

    b

    30≤x< 40

    a

    0.24

    x≥ 40

    4

    0.08

    其中，应急执勤次数在20≤x< 30这一组的数据是：

    20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29

    请根据所给信息，解答下列问题：

    （1）=　　　　　　，=　　　　　　；

    （2）请补全频数分布直方图；

    （3）随机抽取的50名在职党员参加应急执勤次数的中位数是　　　　　　；

    （4）请估计2月—3月期间A社区在职党员参加应急执勤的次数不低于30次的约有__人．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】有甲、乙两家草莓采摘园，草莓的销售价格相间，在生长旺季，两家均排出优惠方案.甲园的优惠方案是:采摘的草莓不超过时，按原价销售；若超过超过部分折优惠；乙园的优惠方案是:游客进园需购买元门票.采摘的草莓直接按降价出售.已知在甲园、乙园采摘草莓时，所需费用相同.

    在乙采摘园所需费用( 元)与草梅采摘量(千克)满足一次函数关系，如下表:

    数量/千克

    ···

    费用元

    ···

    （1）求与的函数关系式(不必写出的范围)；

    （2）求两个采摘园的草莓在生长旺季前的销售价格.并求在甲采摘园所需费用(元)与草莓采摘量(千克)的函数关系式；

    （3）若嘉琪准备花费元去采摘草莓，去哪个园采摘，可以得到更多数量的草莓？ 说明理由.

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】阅读下列材料：小明为了计算的值 ，采用以下方法：

    设 ①

    则 ②

    ②-①得

    ∴

    （1）= ;

    （2） = ;

    （3）求的和（ ，是正整数，请写出计算过程 ）.

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