【题目】阅读下列材料:小明为了计算的值 ,采用以下方法:
设 ①
则 ②
②-①得
∴
(1)= ;
(2) = ;
(3)求的和( ,是正整数,请写出计算过程 ).
【答案】(1); (2) ; (3)n+1或 .
【解析】
(1)利用题中的方法设S=1+2+22+…+29,两边乘以2得到2S=2+22+…+29,然后把两式相减计算出S即可;
(2)利用题中的方法设S=1+3+32+33+34+…+310,两边乘以3得到3S=3+32+33+34+35+…+311,然后把两式相减计算出S即可;
(3)利用(2)的方法计算.
(1)设S=1+2+22+…+29①
则2S=2+22+…+210②
②-①得2S-S=S=210-1
∴S=1+2+22+…+29=210-1;
故答案为210-1
(2)设S=3+3+32+33+34+…+310①,
则3S=32+33+34+35+…+311②,
②-①得2S=311-1,
所以S=,
即3+32+33+34+…+310=;
故答案为;
(3)设S=1+a+a2+a3+a4+..+an①,
则aS=a+a2+a3+a4+..+an+an+1②,
②-①得:(a-1)S=an+1-1,
a=1时,不能直接除以a-1,此时原式等于n+1;
a不等于1时,a-1才能做分母,所以S=,
即1+a+a2+a3+a4+..+an=.
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【题目】下面是小王同学“过直线外一点作该直线的平行线”的尺规作图过程.
已知:直线l及直线l外一点P.
求作:直线,使得.
作法:如图,
①在直线l外取一点A,作射线与直线l交于点B,
②以A为圆心,为半径画弧与直线l交于点C,连接,
③以A为圆心,为半径画弧与线段交于点,
则直线即为所求.
根据小王设计的尺规作图过程,,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:∵,
∴,(______________________)(填推理的依据).
∵__________,
∴.
∵,
∴.
∴(____________________)(填推理的依据).
即.
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【题目】综合与探究
如图,抛物线与轴交于两点(点在点的左侧),与轴交于点,连接,点为抛物线对称轴上一动点.
(1)求直线的函数表达式;
(2)连接,求周长的最小值;
(3)在抛物线上是否存在一点.使以为顶点的四边形是以为边的平行四边形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=﹣x﹣2与x轴,y轴分别交于点D,C.点G,H是线段CD上的两个动点,且∠GOH=45°,过点G作GA⊥x轴于A,过点H作HB⊥y轴于B,延长AG,BH交于点E,则过点E的反比例函数y=的解析式为_____.
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【题目】如图所示,一次函数y=﹣x﹣6与x轴,y轴分别交于点A,B将直线AB沿y轴正方向平移与反比例函数y=(x>0)的图象分别交于点C,D,连接BC交x轴于点E,连接AC,已知BE=3CE,且S△ABE=27.
(1)求直线AC和反比例函数的解析式;
(2)连接AD,求△ACD的面积.
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【题目】如图,BD是△ABC的角平分线,过点D作DE∥BC交AB于点E,DF∥AB交BC于点F.
⑴求证:四边形BEDF为菱形;
⑵如果∠A=100°,∠C=30°,求∠BDE的度数.
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【题目】在阳光下,小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米,同时小强同学测量树的高度时,发现树的影子有一部分0.2米落在教学楼的第一级台阶上,落在地面上的影长为4.42米,每级台阶高为0.3米.小玲说:“要是没有台阶遮挡的话,树的影子长度应该是4.62米”;小强说:“要是没有台阶遮挡的话,树的影子长度肯定比4.62米要长”.
(1)你认为小玲和小强的说法对吗?
(2)请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度;
(3)要是没有台阶遮挡的话,树的影子长度是多少?
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