Question

4．如图，抛物线与x轴交于点A（-2，0）和B（6，0），与y轴交于点C（0，3$\sqrt{2}$）．
（1）求此抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）连结BC、BD、CD，求证：△BCD是直角三角形；
（3）过点B作射线BM∥CD，E是线段BC上的动点，设BE=t．作EF⊥BC交射线BM于点F．
①证明：△EBF∽△DCB；
②连结CF，当△ECF与△DCB相似时，求出t的值；
③记S=S_△ECF-S_△EBF，请直接写出S取到最大值时，t的值和△EBF内切圆半径r．

Answer 1

分析 （1）设交点式y=a（x+2）（x-6），再把C点坐标代入求出a=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，则可得到抛物线解析式为y=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x²+$\sqrt{2}$x+3$\sqrt{2}$，然后把解析式配成顶点式即可得到顶点D的坐标；
（2）利用两点间的距离公式计算出CD=$\sqrt{6}$，BD=4$\sqrt{3}$，BC=3$\sqrt{6}$，再利用勾股定理的逆定理判断△BCD是直角三角形，∠BDC=90°，
（3）①利用BM∥CD可得∠DBM=90°，再利用等角的余角相等得到∠DBC=∠EFB，然后根据相似三角形的判定方法得到△EBF∽△DCB；
②由于△EBF∽△DCB，则利用相似比可计算出EF=2$\sqrt{2}$t，然后分类讨论：当△EFC∽△DCB时，$\frac{EF}{DC}$=$\frac{EC}{DB}$，即$\frac{2\sqrt{2}t}{\sqrt{6}}$=$\frac{3\sqrt{6}-t}{4\sqrt{3}}$；当△EFC∽△DBC时，$\frac{EF}{DB}$=$\frac{EC}{DC}$，即$\frac{2\sqrt{2}t}{4\sqrt{3}}$=$\frac{3\sqrt{6}-t}{\sqrt{6}}$，再分别利用比例性质求出t即可；
③利用三角形面积公式得到S=S_△ECF-S_△EBF=$\frac{1}{2}$EF（CE-BE）=-2$\sqrt{2}$t²+6$\sqrt{3}$t，利用二次函数的性质，当t=$\frac{3\sqrt{6}}{4}$时，S取最大值，此时BE=$\frac{3\sqrt{6}}{4}$，EF=2$\sqrt{2}$t=3$\sqrt{3}$，接着利用勾股定理计算出BF=$\frac{9\sqrt{6}}{4}$，然后根据直角三角形的内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半求r即可．

解答 （1）解：设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-6），
把C（0，3$\sqrt{2}$）代入得a•2•（-6）=3$\sqrt{2}$，解得a=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
所以抛物线解析式为y=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x+2）（x-6），即y=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x²+$\sqrt{2}$x+3$\sqrt{2}$，
∵y=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x-2）²+4$\sqrt{2}$，
∴顶点D的坐标为（2，4$\sqrt{2}$）；
（2）证明：如图1，

∵B（6，0），C（0，3$\sqrt{2}$），D（2，4$\sqrt{2}$），
∴CD=$\sqrt{{2}^{2}+（4\sqrt{2}-3\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，BD=$\sqrt{（2-6）^{2}+（4\sqrt{2}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{{6}^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$=3$\sqrt{6}$，
∵（$\sqrt{6}$）²+（4$\sqrt{3}$）²=（3$\sqrt{6}$）²，
∴CD²+BD²=BC²，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC=90°
（3）①证明：如图2，

∵BM∥CD，
而∠BDC=90°，
∴∠DBM=90°，
即∠DBC+∠FBC=90°，
∵FE⊥BC，
∴∠FBE+∠EFB=90°，
∴∠DBC=∠EFB，
而∠BDC=∠FEB，
∴△EBF∽△DCB；
②解：如图3，

∵△EBF∽△DCB，
∴$\frac{EF}{BD}$=$\frac{BE}{CD}$，即$\frac{EF}{4\sqrt{3}}$=$\frac{t}{\sqrt{6}}$，解得EF=2$\sqrt{2}$t，
当△EFC∽△DCB时，$\frac{EF}{DC}$=$\frac{EC}{DB}$，即$\frac{2\sqrt{2}t}{\sqrt{6}}$=$\frac{3\sqrt{6}-t}{4\sqrt{3}}$，解得t=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
当△EFC∽△DBC时，$\frac{EF}{DB}$=$\frac{EC}{DC}$，即$\frac{2\sqrt{2}t}{4\sqrt{3}}$=$\frac{3\sqrt{6}-t}{\sqrt{6}}$，解得t=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
综上所述，t的值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$或$\frac{3\sqrt{6}}{2}$；
③解：S=S_△ECF-S_△EBF=$\frac{1}{2}$•CE•EF-$\frac{1}{2}$BE•EF=$\frac{1}{2}$EF（CE-BE）=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{2}$t•（3$\sqrt{6}$-t-t）=-2$\sqrt{2}$t²+6$\sqrt{3}$t，
当t=-$\frac{6\sqrt{3}}{2×（-2\sqrt{2}）}$=$\frac{3\sqrt{6}}{4}$时，S取最大值，此时BE=$\frac{3\sqrt{6}}{4}$，EF=2$\sqrt{2}$t=3$\sqrt{3}$，
所以BF=$\sqrt{B{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\frac{9\sqrt{6}}{4}$，
所以△EBF内切圆半径r=$\frac{\frac{3\sqrt{6}}{4}+3\sqrt{3}-\frac{9\sqrt{6}}{4}}{2}$=$\frac{6\sqrt{3}-3\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会用待定系数法求抛物线解析式；能运用勾股定理的逆定理证明直角三角形；理解坐标与图形性质，能利用两点间的距离公式计算线段的长和运用相似比计算线段的长．