Question

16．已知在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上不与点B，C重合的点，点E是射线AC上一点，为AD=AE，将∠CDE沿直线DE折叠，折叠后边DC对应的射线DC′，交射线AC于点C′．
（1）如图①，当点D在BC上时，求证：AB•CC′=BD•CD；
（2）如图②，当点D在BC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设∠BAD=x，根据三角形外角的性质得到∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+x，∠AED=∠C+∠EDC，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠ADE=∠AED，证得∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAD，由折叠的性质得到∠C′DC=2∠EDC，推出△ABD∽△CDC′，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠4=∠ADE，于是得到∠3=180°-2（∠1+∠2），由于∠B=∠ACB=∠3+∠1，于是得到180°-∠BAD-∠1=180°-2（∠1+∠2）+∠1，推出∠BAD=2∠2，得到∠CDC′=2∠2，证得△ABD∽△DCC′，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：设∠BAD=x，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+x，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC，
∵AB=AC，AD=AE，
∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∴∠ADC-∠EDC=∠B+x-∠EDC=∠B+∠EDC，
∴∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∵∠CDE沿直线DE折叠，折叠后边DC对应的射线DC′，
∴∠C′DC=2∠EDC，
∴∠C′DC=∠BAD，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△CDC′，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BD}{C′C}$，
∴AB•CC′=BD•CD；

（2）解：（1）中的结论成立，
理由：∵AE=AD，
∴∠4=∠ADE，
∴∠3=180°-2（∠1+∠2），
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=∠3+∠1，
∵∠B=180°-∠BAD-∠1，
∴180°-∠BAD-∠1=180°-2（∠1+∠2）+∠1，
∴∠BAD=2∠2，
∵∠ACB=∠DCC′，
∴∠B=∠DCC′，
∵将∠CDE沿直线DE折叠，折叠后边DC对应的射线DC′，
∴∠CDC′=2∠2，
∴∠BAD=∠CDC′，
∴△ABD∽△DCC′，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BD}{C′C}$，
∴AB•CC′=BD•CD．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．