Question

【题目】已知,如图△ABC中,∠ABC=45°,AB=BC，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F.H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，

(1)求证BF=AC；

(2)求证CE=BF.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质得到BD=CD，证明△BDF≌△CDA，根据全等三角形的性质即可得到BF=AC；
（2）证明△ABE≌△CBE，根据全等三角形的性质得到,等量代换得到BF=2CE；

证明：（1）∵∠ABC=45°，CD⊥AB于D，
∴△BCD是等腰直角三角形，H是BC边的中点，
∴BD=CD，
∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴∠DBF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠DBF=∠ACD，
在△BDF与△CDA中，,

∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF=AC；
（2）∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，
∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°，
∴在△ABE与△CBE中，

∴△ABE≌△CBE（ASA），

∴BF=2CE，
即.