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【题目】数学中,把长与宽之比为(或宽与长之比为)的矩形称为黄金矩形.

思考解决下列问题:

1)已知图1中黄金矩形的长,求的长;

2)黄金矩形有个奇妙的特性:把图1中的黄金矩形,以为边向矩形内作正方形,则矩形是否为黄金矩形,是,请予以证明;不是,请说明理由;

3)黄金矩形使名画《蒙娜丽莎》显得特别和谐,专家分析画中布局如图2,其中最外面的矩形是黄金矩形,以黄金矩形的宽为边向矩形内部作正方形,由上小题知产生的小矩形为更小的黄金矩形,按此规律依次生成各黄金矩形,若图3中最大黄金矩形的长为,则最小黄金矩形的长是多少?

【答案】(1);(2)矩形DCGF是黄金矩形,理由见解析;(3).

【解析】

1)根据黄金分割的定义代入求解即可;

2)由正方形的性质得到点D为线段AF的黄金分割点,再根据黄金分割的定义判断即可;

3)根据黄金分割的定义解答即可.

1)由题意可得,

,∴,即的长为.

2)矩形是黄金矩形,理由如下:

∵四边形ABEF是正方形,∴AB=DC=AD

又∵,∴,

即点D是线段AF的黄金分割点,

,∴

∴矩形DCGF是黄金矩形.

3)若图3中最大黄金矩形的长为a,由题意可得,

最小黄金矩形的长是.

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