Question

【题目】已知抛物线y=14x2+1(如图所示).

(1)填空：抛物线的顶点坐标是(___,___)，对称轴是___；

(2)已知y轴上一点A(0,2)，点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B. 若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，点M在直线AP上。在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形?若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）（1）顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x＝0）；（2）P1（2，4），P2（﹣2，4）；（3）存在N1（，1），N2（﹣，﹣1）N3（﹣，1），N4（，﹣1）使得四边形OAMN是菱形．

【解析】

（1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可；
（2）根据等边三角形的性质求得PB=4，将PB=4代入函数的解析式后求得x的值即可作为P点的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标；
（3）首先求得直线AP的解析式，然后设出点M的坐标，利用勾股定理表示出有关AP的长即可得到有关M点的横坐标的方程，求得M的横坐标后即可求得其纵坐标，

解：（1）顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x＝0）．

（2）∵△PAB是等边三角形，

∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°．

∴AB＝20A＝4．

∴PB＝4．

解法一：把y＝4代入y＝x2+1，

得 x＝±2．

∴P1（2，4），P2（﹣2，4）．

解法二：∴OB＝＝2

∴P1（2，4）．

根据抛物线的对称性，得P2（﹣2，4）．

（3）∵点A的坐标为（0，2），点P的坐标为（2，4）

∴设线段AP所在直线的解析式为y＝kx+b

∴

解得：

y＝x+2

设存在点N使得OAMN是菱形，

∵点M在直线AP上，

∴设点M的坐标为：（m，m+2）

如图，作MQ⊥y轴于点Q，则MQ＝m，AQ＝OQ﹣OA＝m+2﹣2＝m

∵四边形OAMN为菱形，

∴AM＝AO＝2，

∴在直角三角形AMQ中，AQ2+MQ2＝AM2，

即：m2+（m）2＝22

解得：m＝±

代入直线AP的解析式求得y＝3或1，

当P点在抛物线的右支上时，分为两种情况：

当N在右图1位置时，

∵OA＝MN，

∴MN＝2，

又∵M点坐标为（，3），

∴N点坐标为（，1），即N1坐标为（，1）．

当N在右图2位置时，

∵MN＝OA＝2，M点坐标为（﹣，1），

∴N点坐标为（﹣，﹣1），即N2坐标为（﹣，﹣1）．

当P点在抛物线的左支上时，分为两种情况：

第一种是当点M在线段PA上时（PA内部）我们求出N点坐标为（﹣，1）；

第二种是当M点在PA的延长线上时（在第一象限）我们求出N点坐标为（，﹣1）

∴存在N1（，1），N2（﹣，﹣1）N3（﹣，1），N4（，﹣1）使得四边形OAMN是菱形．