Question

【题目】我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是。

（1）对于这样的抛物线：

当顶点坐标为（1，1）时，a= ；

当顶点坐标为（m，m），m≠0时，a 与m之间的关系式是 ；

（2）继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线上，请用含k的代数式表示b；

（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，…，An在直线上，横坐标依次为1，2，…，n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，B3，…，Bn，以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn，若这组抛物线中有一条经过点Dn，求所有满足条件的正方形边长。

Answer 1

【答案】（1）－1；（2）（3）3，6，9

【解析】

解：（1）－1；。

（2）∵过原点的抛物线顶点在直线上，∴。

∵b≠0，∴。

（3）由（2）知，顶点在直线上，横坐标依次为1，2，…，n（n为正整数，且n≤12）的抛物线为：，即。

对于顶点在在直线上的一点Am（m，m）（m为正整数，且m≤n），依题意，作的正方形AmBmCmDm边长为m，点Dm坐标为（2 m，m），

若点Dm在某一抛物线上，则

，化简，得。

∵m，n为正整数，且m≤n≤12，∴n=4，8，12，m=3，6，9。

∴所有满足条件的正方形边长为3，6，9。

（1）当顶点坐标为（1，1）时，由抛物线顶点坐标公式，有，即。

当顶点坐标为（m，m），m≠0时，。

（2）根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将抛物线顶点坐标代入，

化简即可用含k的代数式表示b。

由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标。

（3）将依题意，作的正方形AmBmCmDm边长为m，点Dm坐标为（2 m，m），将（2 m，m）代入抛物线求出m，n的关系，即可求解。