Question

【题目】如图所示，在Rt△ABC中，斜边AC的中点M关于BC的对称点为点O，将△ABC绕点O顺时针旋转至△DCE，连接BD，BE，

（1）在①∠BOE，②∠ACD，③∠COE中，等于旋转角的是　 　（填写序号即可）；

（2）判断∠A和∠BEC的数量关系，并证明；

（3）点N是BD的中点，连接MN，若MN＝2，求BE的值．

Answer 1

【答案】（1）③；

（2）∠A＝∠BEC，理由见解析；

（3）BE＝4．

【解析】

（1）根据旋转的性质即可得出结论；

（2）先判断出MA=MB=MC=AC，进而得出∠A=∠ABM=α，即：∠BMC=∠A+∠ABM=2α，再判断出∠BOC=∠BMC=2α，判断出点C，B，E在以O为圆心，OB为半径的圆上，即可得出结论；

（3）先判断出∠DEC=∠ACB=90°-α，再判断出∠MBC=∠ACB=90°-α，进而判断出∠MBE+∠BED=180°，得出BF∥DE，即可判断出四边形BFDE是平行四边形，即可得出结论．

解：（1）如图1，连接OA，OD，OE，

由旋转知，旋转角为∠BOC＝∠AOD＝∠COE，

故答案为③；

（2）∠A＝∠BEC，

理由如下：

如图2，连接BM，OE，

设∠A＝α，

在Rt△ABC中，点M是AC中点，

∴MA＝MB＝MC＝AC，

∴∠A＝∠ABM＝α，

∴∠BMC＝∠A+∠ABM＝2α，

∵点M和点O关于直线BC对称，

∴∠BOC＝∠BMC＝2α，

∵OC＝OB＝OE，

∴点C，B，E在以O为圆心，OB为半径的圆上，

∴∠BEC＝∠BOC＝α

∴∠A＝∠BEC；

（3）如图3，连接BM并延长至点F，使BM＝MF，连接FD，

∵∠A＝α，∠ABC＝90°，

∴∠ACB＝90°﹣∠A＝90°﹣α，

∴∠DEC＝∠ACB＝90°﹣α，

由（2）知，∠BEC＝α，

∴∠BED＝∠BEC+∠DEC＝90°，

∵BC＝CE，

∴∠CBE＝∠CEB＝α，

∵MB＝MC，

∴∠MBC＝∠ACB＝90°﹣α，

∴∠MBE＝∠MBC+∠CBE＝90°，

∴∠MBE+∠BED＝180°，

∴BF∥DE，

∵BF＝2BM，AC＝2BM，

∴BF＝AC，

∵AC＝DE，

∴BF＝DE，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∴DF＝BE，

∵BM＝MF，BN＝ND，

∴MN＝DF，

∴MN＝BE，

∴BE＝2MN＝4．