Question

19．如图，已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．
（1）求出反比例函数解析式；
（2）若tan∠NMC=$\frac{4}{3}$，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．
（3）在（2）的条件下，求证：△ACB∽△NOM．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入y=$\frac{k}{x}$可得k的值，进而得到函数解析式；
（2）利用tan∠NMC=$\frac{4}{3}$，得出MC的值，进而得出B点坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式；
（3）根据A、B两点坐标可得AC=$\frac{13}{4}$，BC=$\frac{13}{3}$，ON=$\frac{3}{4}$，OM=1，可得$\frac{AC}{NO}$=$\frac{BC}{MO}$，再由∠ACB=∠NOM=90°，可得△ACB∽△NOM．

解答 解：（1）∵y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），
∴k=4，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$；

（2）∵tan∠NMC=$\frac{4}{3}$，A点横坐标为：1，
∴NC=1，
∴$\frac{1}{MC}$=$\frac{4}{3}$，
解得：MC=$\frac{3}{4}$，
∴B点纵坐标为：$\frac{3}{4}$，
∴设B点横坐标为a，则$\frac{3}{4}$a=4，
解得：a=$\frac{16}{3}$，
故B（$\frac{16}{3}$，$\frac{3}{4}$），
设直线AB的解析式为：y=bx+c，则
$\left\{\begin{array}{l}{b+c=4}\\{\frac{16}{3}b+c=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{4}}\\{c=\frac{19}{4}}\end{array}\right.$．
故直线AB的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{19}{4}$；

（3）∵点A（1，4），点B（$\frac{16}{3}$，$\frac{3}{4}$），
∴AC=4-$\frac{3}{4}$=$\frac{13}{4}$，BC=$\frac{16}{3}$-1=$\frac{13}{3}$，ON=$\frac{3}{4}$，OM=1，
∴$\frac{AC}{NO}$=$\frac{\frac{13}{4}}{\frac{3}{4}}$=$\frac{13}{3}$，
∵$\frac{BC}{MO}$=$\frac{\frac{13}{3}}{1}$=$\frac{13}{3}$，可得$\frac{AC}{NO}$=$\frac{BC}{MO}$，
∵∠ACB=∠NOM=90°，
∴△ACB∽△NOM．

点评 此题主要考查了反比例函数的综合以及相似三角形的判定与性质等知识，根据三角函数值得出B点纵坐标是解题关键．