Question

如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于F，连接AF、CE．

（1）求证：四边形AECF为平行四边形；

（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求∠CBD的度数．

 

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）30°．

【解析】

试题分析：（1）根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知AE∥CF；然后由全等三角形的判定定理ASA推知△ADE≌△CBF；最后根据全等三角形的对应边相等知AE=CF，所以对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（2）根据证明M是BC的中点，AM丄BC（已知），△ABC为等边三角形，然后根据三线合一定理即可求解．

试题解析：（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形（已知），

∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）；

又∵AM丄BC（已知），

∴AM⊥AD；

∵CN丄AD（已知），

∴AM∥CN，

∴AE∥CF；

∴∠ADE=∠CBD，

∵AD=BC（平行四边形的对边相等），

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（ASA），

∴AE=CF（全等三角形的对应边相等），

∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）

（2）如图，连接AC交BF于点0， 当四边形AECF为菱形时，

则AC与EF互相垂直平分，

∵BO=OD（平行四边形的对角线相互平分），

∴AC与BD互相垂直平分，

∴?ABCD是菱形（对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形），

∴AB=BC（菱形的邻边相等）；

∵M是BC的中点，AM丄BC（已知），

∴AB=AC（等腰三角形的性质），

∴△ABC为等边三角形，

∴∠ABC=60°，∠CBD=30°．

考点：1.平行四边形的判定与性质；2.菱形的性质．