【题目】如图,矩形ABCD中,延长AB至E,延长CD至F,BE=DF,连接EF,与BC、AD分别相交于P、Q两点.
(1)求证:CP=AQ;
(2)若BP=1,PQ=,∠AEF=45°,求矩形ABCD的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)8.
【解析】
试题分析:(1)由矩形的性质得出∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°,AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC,证出∠E=∠F,AE=CF,由ASA证明△CFP≌△AEQ,即可得出结论;
(2)证明△BEP、△AEQ是等腰直角三角形,得出BE=BP=1,AQ=AE,求出PE=BP=,得出EQ=PE+PQ=,由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出AQ=AE=3,求出AB=AE﹣BE=2,DQ=BP=1,得出AD=AQ+DQ=4,即可求出矩形ABCD的面积.
试题解析:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°,AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC,∴∠E=∠F,∵BE=DF,∴AE=CF,在△CFP和△AEQ中,∵∠C=∠A,CF=AE,∠F=∠E,∴△CFP≌△AEQ(ASA),∴CP=AQ;
(2)解:∵AD∥BC,∴∠PBE=∠A=90°,∵∠AEF=45°,∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形,∴BE=BP=1,AQ=AE,∴PE=BP=,∴EQ=PE+PQ==,∴AQ=AE=3,∴AB=AE﹣BE=2,∵CP=AQ,AD=BC,∴DQ=BP=1,∴AD=AQ+DQ=3+1=4,∴矩形ABCD的面积=ABAD=2×4=8.
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【题目】 (2016浙江台州第19题)如图,点P在矩形ABCD的对角线AC上,且不与点A,C重合,过点P分别作边AB,AD的平行线,交两组对边于点E,F和G,H.
(1)求证:△PHC≌△CFP;
(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形,并直接写出它们面积之间的关系.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE.
(1)求证:CE=AD;
(2)当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;
(3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由.
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【题目】已知矩形BEDG和矩形BNDQ中,BE=BN , DE=DN .
(1)将两个矩形叠合成如上图,求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若菱形ABCD的周长为20,BE=3,求矩形BEDG的面积.
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【题目】如图所示,AB是⊙O的直径,AM、BN是⊙O的两条切线,D、C分别在AM、BN上,DC切⊙O于点E,连接OD、OC、BE、AE,BE与OC相交于点P,AE与OD相交于点Q,已知AD=4,BC=9. 以下结论:
①⊙O的半径为 ②OD∥BE ③PB= ④tan∠CEP=
其中正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个
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