Question

10．Rt△ABC和Rt△DEC是两个全等三角形．按照图1位置摆放．
（1）猜想∠BCD和∠ACE的数量关系，证明你的猜想．
（2）连接AE、BD．
①如图2，比较△ACE和△BCD面积的大小，并证明你的结论；
②如图3，取BD中点M，连接CM，探索∠BCM和∠AEC的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件和全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①如图2，过E作EM⊥AC与M，过B作BN⊥CD与N，通过△BCN≌△ECM，得到BN=EM，根据三角形的面积即可得到结论；
②如图3，延长CM，使MH=CM，连接BH，通过△BMH≌△CDM，得到BH=CD，∠HBD=∠CDB，于是得到BH=AC，∠CBD+∠CDB=∠CBD+∠DBH=180°-∠BCD=∠ACE，证得△ACE≌△BCH，于是得到结论．

解答 解：（1）∠BCD+∠ACE=180°，
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠BCD+∠ACE=∠ECD+∠DCA+∠BCD=∠ECD+∠ACB=180°；

（2）①S_△ACE=S_△BCD，
如图2，过E作EM⊥AC与M，过B作BN⊥CD与N，
∵∠BCM=∠ECD=90°，
∴∠ECN=∠BCD，
在△BCN与△ECM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECM=∠BCD}\\{∠EMC=∠BNC=90°}\\{BC=EC}\end{array}\right.$，
∴△BCN≌△ECM，
∴BN=EM，
∴$\frac{1}{2}$AC•EM=$\frac{1}{2}$CD•BN，
∴S_△ACE=S_△BCD；
②如图3，延长CM，使MH=CM，连接BH，
在△BMH与△CDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=DM}\\{∠BMH=∠DMC}\\{MH=MC}\end{array}\right.$，
∴△BMH≌△CDM，
∴BH=CD，∠HBD=∠CDB，
∴BH=AC，∠CBD+∠CDB=∠CBD+∠DBH=180°-∠BCD=∠ACE，
∴∠CBH=∠ACE，
在△ACE与△BCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=BC}\\{∠CBH=∠ACE}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCH，
∴∠BCM=∠AEC．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．