Question

9．正三角形的内切圆及外接圆的半径之比1：2．

Answer 1

分析 作出辅助线OD、OE，证明△AOD为直角三角形且∠OAD为30°，即可求出OD、OA的比．

解答 解：如图，连接OD、OE；
∵AB、AC切圆O于E、D，
∴OE⊥AB，OD⊥AC，OD=OE，
∴∠DAO=∠EAO；
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠OAC=60°×$\frac{1}{2}$=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA，
∴OD：AO=1：2．
即正三角形的内切圆与外接圆半径之比是1：2．
故答案为：1：2．

点评 此题主要考查了正多边形和圆、正三角形的内心与外心、正三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握正三角形的性质，由含30°角的直角三角形的性质得出结果是解决问题的关键．