Question

【题目】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式：

例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数，

(1)根据表中规律，写出的展开式；

(2)多项式的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；

(3)请你猜想多项式取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母的代数式表示）；

(4)利用表中规律计算：（不用表中规律计算不给分）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）次项式，第三项的系数为：；（3）；（4）1.

【解析】

(1)可以根据题意写出答案，

(2)分别用、、去探究它们之间的关系，找出规律即可，

(3)分别用、、先求出它们的系数和，找出规律即可，

(4)通过观察可把正负号转化为的偶次方和奇次方，然后把式子转化为题中所给的形式即可得出答案.

解：根据题意可得：

（1）观察表中信息可写出：，

（2）当时，多项式的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为，

当时，多项式的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为，

当时，多项式的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为，

多项式的展开式是一个次项式，

第三项的系数为：；

（3）当时，多项式的各项系数之和为：，

当时，多项式的各项系数之和为：，

当时，多项式的各项系数之和为：，

多项式展开式的各项系数之和为：

（4）

=

=

=1.