Question

【题目】如图，己知，A(0, 4),B (t,0)分别在y轴,x轴上，连接AB,以AB为直角边分别作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ABC.直线BC交y轴于点E. 点G(-2,3)、H(-2,1)在第二象限内.

(1)当t =-3时，求点D的坐标.

(2)若点G、H位于直线AB的异侧，确定t的取值范围.

(3)①当t取何值时，△ABE与△ACE的面积相等.

②在①的条件下，在x轴上是否存在点P,使△PCB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）D（-7，3）；（2）；（3）①－2；②存在，P(6，0)，P(，0)，P(-2-2，0)，P(2-2，0)

【解析】

（1）当t=-3时，过点D作DM⊥x轴于点M，证明△ABO≌△BDM，得出DM=BO和MB=OA，从而得出点D坐标.

（2）设出AB解析式y=kx+4，分别求出点G，H在线段AB上的时点B的坐标；

（3）①假设△ABE与△ACE的面积相等，利用等底同高求出t值；

②根据等腰三角形的性质,分BP=BC、CP=CB、PC=PB三种情况讨论.

(1)当t=-3时，过点D作DM⊥x轴于点M,

∵△ABD为等腰直角三角形，AB=BD，∠ABD=90°

∴∠ABO+∠DBM=180°-90°=90°

又∵DM⊥x轴于点M

∴∠DMB=90°

∴∠DBM+∠MDB=90°

∴∠MDB=∠ABO

在△ABO和△BDM中

∴△ABO≌△BDM

∴DM=BO=3，MB=OA=4

∴MO=MB+BO=4+3=7

∴D（-7，3）

(2)∵A（0，4），B（t,0),设直线AB的解析式为y=kx+4

当点G（-2，3）在直线AB上时

3=-2k+4，

此时AB的解析式

当y=0时，，x=-8

此时B（-8，0)

当点H（-2，1）在直线AB上时

1=-2k+4，

此时AB的解析式

当y=0时，，x=

此时B（，0)

∵点G, H位于直线AB的异侧，

∴由图像可知直线AB与线段MN相交，且点M，N不在直线AB上

∴

(3)①t=-2时，△ABE与△ACE的面积相等.

如图，过点B做x轴垂线，构造直角三角形ARB和直角三角形BQC，

∵∠RAB+∠ABR=90°，∠ABR+∠BCQ=90°

∴∠ABR=∠BCQ，

在△ARB和△BQC中，

，

∴△ARB≌△BQC（AAS）

∴AR=BQ,BR=QC=4，

若△ABE与△ACE的面积相等，

则BE=EC，

∴BO=CN=2,

∴B（-2,0）

②P(6，0)，P(，0)，P(-2-2，0)，P(2-2，0)

由②可得C（2，-2）

当BP=BC时，

BC==，

∴BP=

∴P(-2-2，0)或P(2-2，0)

当CP=CB时，

BP=8，

∴P(6，0)

当PC=PB时，

如图，过E作BC的垂线，交x轴于点P，过C作x轴垂线于点S，

设BP=m=PC，则PS=4-m，

在△PSC中，PS2+SC2=PC2,

即22+（4- m）2= m 2，

解得m=，

∴OP=-2=，

∴P(，0).

综上：P(6，0)，P(，0)，P(-2-2，0)，P(2-2，0).