Question

【题目】（本题12分）抛物线经过点A(－4，0)，B(2，0)且与轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，P为线段AC上一点，过点P作轴平行线，交抛物线于点D，当△ADC的面积最大时，求点P的坐标；

(3)如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴子F点，M、N分别是轴和线段EF上的动点，设M的坐标为(m，0)，若∠MNC＝90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．

图1 图2

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2+2x﹣8．

（2）点P的坐标为（﹣2，﹣4）．

（3）∴m的取值范围是﹣10≤m≤15．理由详见解析．

【解析】试题分析：（1）只需用待定系数法就可求出抛物线的解析式；

（2）可用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-2x-8，设点P的坐标为（a，-2a-8），则点D（a，a2+2a-8），（-4＜a＜0），然后用割补法求得S△ADC=-2（a+2）2+8，从而可求出△ADC的面积最大时点P的坐标；

（3）易求得OF=1、EF=9、OC=8．设FN=n，（0≤n≤9），然后分三种情况（Ⅰ．M与点F重合，Ⅱ．M在点F左侧，Ⅲ．M在点F右侧）讨论，运用相似三角形的性质均可得到m=-n2+8n-1（0≤n≤9）．由m=-n2+8n-1=-（n-4）2+15可得到m最大值为15，再由n=0时m=-1，n=9时m=-10可得m最小值为-10，从而可得到m的取值范围．

试题解析：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-4，0），B（2，0），

∴，

解得： ．

∴抛物线的解析式为y=x2+2x-8．

（2）如图1，

令x=0，得y=-8，

∴点C的坐标为（0，-8）．

设直线AC的解析式为y=kx+t，

则，

解得： ，

∴直线AC的解析式为y=-2x-8．

设点P的坐标为（a，-2a-8），则点D（a，a2+2a-8），（-4＜a＜0），

∴PD=（-2a-8）-（a2+2a-8）=-a2-4a，

∴S△ADC=S△APD+S△CPD

=PD[a-（-4）]+ PD（0-a）

=2PD=-2（a2+4a）

=-2（a+2）2+8，

∴当a=-2时，S△ADC取到最大值为8，此时点P的坐标为（-2，-4）．

（3）由y=x2+2x-8=（x+1）2-9得E（-1，-9）、C（0，-8），

则有OF=1、EF=9、OC=8．

设FN=n，（0≤n≤9），

Ⅰ．当M与点F重合时，此时m=-1，n=8，显然成立；

Ⅱ．当M在点F左侧，作NQ⊥y轴于点Q，如图2①，此时m＜-1．

∵∠MNC=∠FNQ=90°，∴∠MNF=∠CNQ．

∵∠MFN=∠CQN=90°，

∴△MFN∽△CQN，

∴

∴，

∴m=-n2+8n-1．

Ⅲ．当M在点F右侧，作NQ′⊥y轴于点Q′，如图2②，此时m＞-1．

∵∠MNC=∠FNQ′=90°，∴∠MNF=∠CNQ′．

∵∠MFN=∠CQ′N=90°，

∴△MFN∽△CQ′N，

∴，

∴，

∴m=-n2+8n-1．

综上所述：m=-n2+8n-1，（0≤n≤9）．

∴m=-n2+8n-1=-（n-4）2+15，

∴当n=4时，m取到最大值为15．

∵n=0时m=-1，n=9时m=-10，

∴m取到最小值为-10，

∴m的取值范围是-10≤m≤15．