Question

【题目】（操作发现）

如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．

∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．

（实践探究）

（1）在图①条件下，若CN＝3，CM＝4，则正方形ABCD的边长是 　．

（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．

（拓展）

（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的长．

Answer 1

【答案】（1）6；（2），见解析；（3）2

【解析】

(1)根据旋转的性质证明△ABE≌△ADM得到BE=DM，又由∠ABE=∠D=90°，AE=AM，∠BAE=∠DAM，证出∠EAM=90°，得出∠MAN=∠EAN，再证明△AMN≌△EAN（SAS），得出MN=EN最后证出MN=BN+DM．在Rt△CMN中，由勾股定理计算即可得到正方形的边长；

(2 )先根据旋转的性质证明△AEG≌△AEF（SAS），再证明∠GBE=90°，再根据勾股定理即可得到；

(3)在AB上截取AP，在BC上截取BQ，使AP＝AB=BQ＝3，连结PQ交AM于点R，得到ABQP为正方形，再根据操作发现以及勾股定理即可得到答案；

（1）（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=AD，∠BAD=∠C=∠D=90°，
由旋转得：△ABE≌△ADM，
∴BE=DM，∠ABE=∠D=90°，AE=AM，∠BAE=∠DAM，
∴∠BAE+∠BAM=∠DAM+∠BAM=∠BAD=90°，
即∠EAM=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAN=90°-45°=45°，
∴∠MAN=∠EAN，

在△AMN和△EAN中，

∴△AMN≌△EAN（SAS），
∴MN=EN．
∵EN=BE+BN=DM+BN，
∴MN=BN+DM．
在Rt△CMN中，

，

则BN+DM=5，
设正方形ABCD的边长为x，则BN=BC-CN=x-3，DM=CD-CM=x-4，
∴x-3+x-4=5，
解得：x=6，
即正方形ABCD的边长是6；
故答案为：6；

（2）数量关系为：，证明如下：

将△AFD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABG，连结EG．

由旋转的性质得到：AF=AG，

又∵∠EAF＝45°，

∴,

且AE=AE，

∴△AEG≌△AEF（SAS），

从而得EG＝EF．（全等三角形对应边相等），

又∵BN＝DM，BN∥DM，

∴四边形DMBN是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），

∴DN∥BM，

∴ （两直线平行，同位角相等），

∵,

∴（等量替换），

即：∠GBE=90°，

则，

∴；

（3）在AB上截取AP，在BC上截取BQ，使AP＝AB=BQ＝3，连结PQ交AM于点R，

易证ABQP为正方形，

由操作与发现知：PR+BN＝RN．

设PR＝x，则RQ＝3﹣x，RN=1+x，QN=3-1=2

在Rt△QRN中，由勾股定理得：

，

即

解得：x＝，

∴PR=

∵PQ∥DC，

∴△APR∽△ADM，

∴ （相似三角形对应边成比例）

∴

∴DM＝2；