Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2=OEOP；③S△AOD=S四边形OECF；④当BP=1时，tan∠OAE=，其中正确的结论是（　　）

A.①③B.①②③C.①③④D.①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

由四边形ABCD是正方形，得到AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，根据全等三角形的性质得到∠P=∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP，故①正确；根据相似三角形的性质得到AO2=ODOP，由OD≠OE，得到OA2≠OEOP，故②错误；根据全等三角形的性质得到CF=BE，DF=CE，于是得到S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD=S四边形OECF，故③正确；根据相似三角形的性质得到BE=，求得QE=，QO=，OE=，由三角函数的定义即可得到结论．

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，

∵BP=CQ，

∴AP=BQ，

在△DAP与△ABQ中，

∴△DAP≌△ABQ(SAS)，

∴∠P=∠Q，

∵∠Q+∠QAB=90°，

∴∠P+∠QAB=90°，

∴∠AOP=90°，

∴AQ⊥DP，故①正确；

∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，

∴∠DAO=∠P，

∴△DAO∽△APO，

∴，

∴AO2=ODOP，

∵AE＞AB，

∴AE＞AD，

∴OD≠OE，

∴OA2≠OEOP，故②错误；

在△CQF与△BPE中，

∴△CQF≌△BPE(AAS)，

∴CF=BE，

∴DF=CE，

在△ADF与△DCE中，

∴△ADF≌△DCE(SAS)，

∴S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF，

即S△AOD=S四边形OECF，故③正确；

∵BP=1，AB=3，

∴AP=4，

∵AD∥BC，

∴△PBE∽△PAD，

∴，

∴BE=，

∴QE=，

∵△QOE∽△PAD，

∴，

∴QO=，OE=span>，

∴AO=5﹣QO=，

∴tan∠OAE=，故④错误；

故选：A．