Question

10．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3分别交x轴、y轴于A，C两点，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），经过A，C两点，与x轴交于点B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为直线AC上一点，点E为抛物线上一点，且D，E两点的横坐标都为2，点F为x轴上的点，若四边形ADEF是平行四边形，请直接写出点F的坐标；
（3）若点P是线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，求△ACQ的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）将x=0代入直线的解析式求得点C（0，3），将y=0代入求得x=-3，从而得到点A（-3，0），设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），将点C的坐标代入可求得a=-1，从而得到抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；
（2）将x=2分别代入直线和抛物线的解析式，求得点D（2，5）、E（2，-5），然后根据平行四边形的对角线互相平分可求得点F的坐标；
（3）如图2所示：设点P的坐标为（a，a+3），则点Q的坐标为（a，-a²-2a+3）．QP=-a²-3a，由三角形的面积公式可知：△ACQ的面积=$-\frac{3}{2}{a}^{2}$-$\frac{9}{2}a$然后利用配方法求得二次函数的最大值即可

解答 解：（1）∵将x=0代入y=x+3，得y=3，
∴点C的坐标为（0，3）．
∵将y=0代入y=x+3得到x=-3．
∴点A的坐标为（-3，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），将点C的坐标代入得：-3a=3．
解得：a=-1．
∴抛物线的解析式为y=-（x+3）（x-1）．
整理得：y=-x²-2x+3；
（2）∵将x=2代入y=x+3得，y=5，
∴点D（2，5）．
将x=2代入y=-x²-2x+3得：y=-5．
∴点E的坐标为（2，-5）．
如图1所示：

∵四边形ADFE为平行四边形，
∴点F的坐标为（7，0）．
（3）如图2所示：

设点P的坐标为（a，a+3），则点Q的坐标为（a，-a²-2a+3）．
QP=-a²-2a+3-（a+3）=-a²-2a+3-a-3=-a²-3a．
∵△ACQ的面积=$\frac{1}{2}×AO•QP$，
∴△ACQ的面积=$\frac{1}{2}×3×（-{a}^{2}-3a）$=$-\frac{3}{2}{a}^{2}$-$\frac{9}{2}a$=$-\frac{3}{2}$（a$+\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$．
∴△ACQ的面积的最大值为$\frac{27}{8}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数的解析式、一次函数与坐标轴的交点、配方法求二次函数的最大值，利用点Q和点P的坐标求得QP的长，从而得到△ACQ的面积与a的函数关系式是解题的关键．