Question

【题目】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，点E为AC延长线上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE交CB的延长线于点F．

（1）求证：BF＝CE；

（2）若CE＝AC，用等式表示线段DF与AB的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】(1)详见解析；（2）DFAB．

【解析】

（1）连接DC，由等腰直角△ABC的中线得CD=BD；等腰直角△ABC顶角平分线和底角，∠ABC与∠ABF互为邻补角，由∠BCE=90°，∠DCB=45°，计算出∠DBF=∠DCB=135°；∠CHE+∠E=90°；∠CHE=∠DHF等量代换得∠F=∠E，从而证明△DBF≌△DCE，最后根据全等三角形的性质求BF=CE．
（2）连接BE，在△DCE中，点D和C分别是AB和AE的中点，得到DC∥BE，在（1）基础上易证∠ABE=90°，AB=BE．计算出线段DE的长度与线段AB的关系，即求出线段DF与线段AB的关系．

（1）连接CD，DE与CF相交于点H，如图1所示：

∵在Rt△ABC中，D为AB中点，

∴CD＝BD，

又∵AC＝BC，

∴DC⊥AB，

∴∠ABC＝∠DCB＝45°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BCE＝90°，

∵∠ABC+∠ABF＝180°，∠DCE＝∠DCB+∠BCE，

∴∠DBF＝180°﹣45°＝135°，∠DCB＝90°+45°＝135°，

∴∠DBF＝∠DCB，

∵DF⊥DE，

∴∠DHF+∠F＝90°，

又∵∠CHE+∠E＝90°；∠CHE＝∠DHF，

∴∠F＝∠E，

在△DBF和△DCE中

，

∴△DBF≌△DCE（AAS），

∴BF＝CE．

（2）线段DF与AB的数量关系：DFAB．

连接BE，设AD＝BD＝a，则AB＝2a．如图2所示

∵△DBF≌△DCE，

∴DF＝DE．

∵CE＝AC，DA＝DB，

∴DC∥BE，

又∵∠ADC＝90°，

∴∠ABE＝90°，

∵∠A＝45°，

∴∠AEB＝45°，

∴AB＝BE＝2a，

在Rt△BDE中，由勾股定理得：

DE2＝DB2+BE2，

∴DE，

∴DFa，

∴．

即DFAB．