Question

【题目】如图 1，在矩形 ABCD 中，AB＝8，AD＝10，E 是 CD 边上一点，连接 AE，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上点 F 处，延长 AE 交 BC 的延长线于点G．

（1）求线段 CE 的长；

（2）如图 2，M，N 分别是线段 AG，DG 上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM， 设 DN＝x．

①求证四边形 AFGD 为菱形；

②是否存在这样的点 N，使△DMN 是直角三角形？若存在，请求出 x 的值；若不存在， 请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）CE=3；（2）①见解析；②或2．

【解析】

（1）由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8x．在Rt△ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．

（2）①由△ADE∽△GCE计算出GC的长度，再证明四边形AFGD是平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形的菱形即可证明；

②若△DMN 是直角三角形，则有两种情况，一是当∠MDN=90°时，二是当∠DNM=90°时，分别利用相似三角形的性质以及锐角三角函数的定义即可计算得出．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，
∴∠B＝∠BCD＝90°，
由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设CE＝x，则DE＝EF＝8x．
在Rt△ABF中，BF＝，
∴CF＝BCBF＝106＝4，
在Rt△EFC中，则有：(8x)2＝x2＋42，
∴x＝3，
∴CE＝3．

（2）①证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC

∴△ADE∽△GCE，

∴，

∵AD=10，CE=3，DE=5，

∴，

∴GC=6，

由（1）可得：CF=4，

∴GF=6+4=10，

∴四边形AFGD是平行四边形，

又∵AD=AF，

∴平行四边形AFGD是菱形．

②∵∠DMN=∠DAM，

∴若△DMN 是直角三角形，则有两种情况，

当∠MDN=90°时，

∵AD=GD，

∴∠DAG=∠DGA

又∵∠ADE=∠GDM=90°，

∴△ADE≌△GDM（ASA）

∴DM=DE=5，

又∵∠DMN=∠DAM，∠ADE=∠MDN=90°，

∴△ADE∽△MDN

∴，即，

∴；

当∠DNM=90°时，则∠MDN+∠DMN=90°，

又∵∠DMN=∠DAM，∠DAG=∠DGA，

∴∠DMN=∠DGA，

∴∠MDN+∠DGA=90°，

∴∠DMG=90°，

∵sin∠DAE=，

∵，

∴，

∴DM=，

∵∠DMN=∠DAM

∴sin∠DMN=sin∠DAM

∴，即

解得：x=2，

综上所述：或2．