Question

4．如图，已知AD为△ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD
（1）求证：BE⊥AC；
（2）若把条件BF=AC和结论BE⊥AC互换，那么这个命题成立吗？

Answer 1

分析 （1）由题中条件可得Rt△BDF≌Rt△ADC，得出对应角相等，再通过角之间的转化，进而可得出结论；
（2）根据同角的余角相等，先证明∠CAD=∠CBE，即可根据AAS证明△BDF≌△ADC，从而证明结论．

解答 证明：（1）∵AD⊥BC，
在Rt△BDF和Rt△ADC中
$\left\{\begin{array}{l}{BF=AC}\\{FD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）
∴∠C=∠BFD，
∵∠DBF+∠BFD=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，
∵∠C+∠DBF+∠BEC=180°
∴∠BEC=90°，
即BE⊥AC；
（2）命题成立，
∵AD为△ABC的高，
∴∠C+∠CAD=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠C+∠CBE=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△BDF和△ADC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠CBE}\\{∠BDF=∠ADC}\\{FD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴BF=AC．

点评 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．根据条件恰当的选择判定三角形全等的方法是正确解决本题的关键．