Question

20．如图，小明在大楼的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡角∠ABC=30°点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．
（1）山坡AB的坡度为1：$\sqrt{3}$；
（2）若山坡AB的长为20米，求大楼的窗口P处距离地面的高度．

Answer 1

分析 （1）坡角的正切函数值即为坡度，依此即可求解；
（2）先利用平行线的性质得出∠PBH=∠DPB=60°，由平角的定义求出∠ABP=180°-∠ABC-∠PBH=90°．再证明△ABP是等腰直角三角形，那么BP=AB=20米，然后在直角△PBH中利用三角函数即可求解．

解答 解：（1）∵山坡的坡角∠ABC=30°，
∴山坡AB的坡度为tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=1：$\sqrt{3}$；

（2）由题意得PD∥HC，AB⊥BP，PH⊥HC，∠DPA=15°，∠DPB=60°，AB=20米．
∵PD∥HC，
∴∠PBH=∠DPB=60°，
∴∠ABP=180°-∠ABC-∠PBH=180°-30°-60°=90°．
在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠APB=60°-15°=45°，
∴BP=AB=20米，
在Rt△PBA中，∵∠PHB=90°，∠PBH=60°，
∴PH=PB•sin∠PBH=20×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$（米）．
答：大楼的窗口P处距离地面的高度为10$\sqrt{3}$米．
故答案为1：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，以及坡度坡角问题，其中涉及到平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确利用三角函数是解题的关键．