Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且点F恰好为边AD的中点．

（1）求证：△ABF≌△DEF；

（2）若AG⊥BE于G，BC＝4，AG＝1，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）4

【解析】

（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABF=∠E，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据平行四边形的性质和角平分线的定义可求出AB=AF，再根据等腰三角形的性质可求出BG的长，进而可求出BF的长，根据全等三角形的性质得到BF=EF，所以BE=2BF，问题得解．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠ABF＝∠E，

∵点F恰好为边AD的中点，

∴AF＝DF，

在△ABF与△DEF中，

，

∴△ABF≌△DEF；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC＝4，

∵∠AFB＝∠FBC，

∵∠ABC的平分线与CD的延长线相交于点E，

∴∠ABF＝∠FBC，

∴∠AFB＝∠ABF，

∴AB＝AF，

∵点F为AD边的中点，AG⊥BE．

∴BG＝，

∴BE＝2，

∵△ABF≌△EDF，

∴BE＝2BF＝4．