Question

4．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a²+b²=c²
证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a．
∵S_{四边形ADCB}=S_△ACD+S_△ABC=$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab．
又∵S_{四边形ADCB}=S_△ADB+S_△DCB=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a）．
∴$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a），∴a²+b²=c²．

请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠ABC=90°．
求证：a²+b²=c²．
证明：延长线段DH交EF于G．
∵S_{多边形AEFCD}=S_梯形AEGD+S_梯形DCFG=$\frac{1}{2}$b[b+（a+b）]+$\frac{1}{2}$a[a+（a+b）]=b²+$\frac{1}{2}$ab+a²+$\frac{1}{2}$ab=a²+b²+ab．
∵S_{多边形AEFCD}=S_{正方形ABCD}+2S_{直角三角形ABE}=c²+ab，
∴a²+b²=c²．．

Answer 1

分析 延长线段DH交EF于G，根据S_{多边形AEFCD}=S_梯形AEGD+S_梯形DCFG=S_{正方形ABCD}+2S_{直角三角形ABE}，利用面积公式即可证得．

解答 解：如图，延长线段DH交EF于G．
∵S_{多边形AEFCD}=S_梯形AEGD+S_梯形DCFG=$\frac{1}{2}$b[b+（a+b）]+$\frac{1}{2}$a[a+（a+b）]=b²+$\frac{1}{2}$ab+a²+$\frac{1}{2}$ab=a²+b²+ab．
∵S_{多边形AEFCD}=S_{正方形ABCD}+2S_{直角三角形ABE}=c²+ab，
∴a²+b²=c²．

点评 本题考查了证明勾股定理，勾股定理的证明一般考查图形面积的关系，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．