Question

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OACB的边OA，OB分别在x轴上和y轴上，线段OA，OB的长分别是一元二次方程x²-18x+72=0的两个根，且OA＞OB；点P从点O开始沿OA边匀速移动，点M从点B开始沿BO边匀速移动．如果点P，点M同时出发，它们移动的速度相同，设OP=x（0≤x≤6），设△POM的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）连接矩形的对角线AB，当x为何值时，以P，O，M为顶点的三角形与△AOB相似．

Answer 1

分析 （1）首先根据线段OA，OB的长分别是一元二次方程x²-18x+72=0的两个根，且OA＞OB，求出OA、OB的长度各是多少；然后根据直角三角形面积的求法，求出y与x的函数关系式即可．
（2）根据题意，分两种情况：①当△MOP∽△AOB时；②当△POM∽△AOB时；然后根据三角形相似的性质，求出x为何值时，以P，O，M为顶点的三角形与△AOB相似即可．

解答 解：（1）如图1，，
由x²-18x+72=0，解得
x₁=12，x₂=6，
∵线段OA，OB的长分别是一元二次方程x²-18x+72=0的两个根，且OA＞OB，
∴OA=12，OB=6，
∵OP=BM=x，
∴OM=6-x，
∴S_△POM=$\frac{1}{2}OM•OP$=$\frac{1}{2}$（6-x）x=-$\frac{1}{2}$x²+3x，
即y=-$\frac{1}{2}$x²+3x（0≤x≤6）．

（2）①如图2，，
当△MOP∽△AOB时，
可得$\frac{MO}{AO}=\frac{OP}{OB}$，
∴$\frac{6-x}{12}=\frac{x}{6}$，
解得x=2．

②如图3，，
当△POM∽△AOB时，
可得$\frac{PO}{AO}=\frac{OM}{OB}$，
∴$\frac{x}{12}=\frac{6-x}{6}$，
解得x=4．
综上，可得
当x=2或x=4时，以P，O，M为顶点的三角形与△AOB相似．

点评 （1）此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
（2）此题还考查了函数解析式的求法，以及三角形的面积的求法，要熟练掌握．