Question

【题目】如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=BC，③BF=2OD，④∠CHF=45°．正确结论的个数为( )

A.4个B.3个C.2个D.1个

Answer 1

【答案】B

【解析】

①只要证明OH是△DBF的中位线即可得出结论；

②根据OH是△BFD的中位线，得出GH=CF，由GH＜BC，可得出结论；

③易证得△ODH是等腰三角形，继而证得OD=BF；

④根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC=22.5°即可求出结论．

解：∵EC=CF，∠BCE=∠DCF，BC=DC，

∴△BCE≌△DCF，

∴∠CBE=∠CDF，

∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH，

∴∠DEH+∠CDF=90°，

∴∠BHD=∠BHF=90°，

∵BH=BH，∠HBD=∠HBF，

∴△BHD≌△BHF，

∴DH=HF，∵OD=OB

∴OH是△DBF的中位线

∴OH∥BF；故①正确；

∴OH=BF，∠DOH=∠CBD=45°，

∵OH是△BFD的中位线，

∴DG=CG=BC，GH=CF，

∵CE=CF，

∴GH=CF=CE

∵CE＜CG=BC，

∴GH＜BC，故②错误．

∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，

∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，

∵CE=CF，

∴Rt△BCE≌Rt△DCF（SAS），

∴∠EBC=∠CDF=22.5°，

∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°，

∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，

∴OH是CD的垂直平分线，

∴DH=CH，

∴∠CDF=∠DCH=22.5°，

∴∠HCF=90°-∠DCH=90°-22.5°=67.5°，

∴∠CHF=180°-∠HCF-∠BFH=180°-67.5°-67.5°=45°，故④正确；

∴∠ODH=∠BDC+∠CDF=67.5°，
∴∠OHD=180°-∠ODH-∠DOH=67.5°，
∴∠ODH=∠OHD，
∴OD=OH=BF；故③正确．
故选：B．