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【题目】已知,矩形ABCD中,AB=4cmBC=8cmAC的垂直平分线EF分别交ADBC于点EF,垂足为O

1)如图1,连接AFCE.求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长;

2)如图2,动点PQ分别从AC两点同时出发,沿AFBCDE各边匀速运动一周.即点PA→F→B→A停止,点QC→D→E→C停止.在运动过程中,

①已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,当ACPQ四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.

②若点PQ的运动路程分别为ab(单位:cmab≠0),已知ACPQ四点为顶点的四边形是平行四边形,求ab满足的数量关系式.

【答案】1)证明见解析,AF=5cm

2)①以ACPQ四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.

ab满足的数量关系式是a+b=12ab≠0).

【解析】

1)先证明四边形AFCE为平行四边形,再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定;根据勾股定理即可求得AF的长;

2)分情况讨论可知,当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,根据平行四边形的性质列出方程求解即可.

1)证明:∵四边形ABCD是矩形,

ADBC

∴∠CAD=ACB,∠AEF=CFE

EF垂直平分AC,垂足为O

OA=OC

∴△AOE≌△COF

OE=OF

∴四边形AFCE为平行四边形,

又∵EFAC

∴四边形AFCE为菱形,

设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=8xcm

RtABF中,AB=4cm

由勾股定理得42+8x2=x2

解得x=5

AF=5cm

2)①显然当P点在AF上时,Q点在CD上,此时ACPQ四点不可能构成平行四边形;

同理P点在AB上时,Q点在DECE上,也不能构成平行四边形.

因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,

∴以ACPQ四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC=QA

∵点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,

PC=5tQA=124t

5t=124t

解得

∴以ACPQ四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.

②由题意得,以ACPQ四点为顶点的四边形是平行四边形时,点PQ在互相平行的对应边上.

分三种情况:

i)如图1,当P点在AF上、Q点在CE上时,AP=CQ,即a=12b,得a+b=12

ii)如图2,当P点在BF上、Q点在DE上时,AQ=CP,即12b=a,得a+b=12

iii)如图3,当P点在AB上、Q点在CD上时,AP=CQ,即12a=b,得a+b=12

综上所述,ab满足的数量关系式是a+b=12ab≠0).

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