Question

【题目】如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F= ．

Answer 1

【答案】15°
【解析】解：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°， ∴∠DBC= ∠ABC，∠DCB= ∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°﹣∠A）= ×（180°﹣60°）=60°，
∴∠MBC+∠NCB=360°﹣60°=300°，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴∠5+∠6= ∠MBC，∠1= ∠NCB，
∴∠5+∠6+∠1= （∠NCB+∠NCB）=150°，
∴∠E=180°﹣（∠5+∠6+∠1）=180°﹣150°=30°，
∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，
∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，
∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，
即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，
∴2∠F=∠E，
∴∠F= ∠E= ×30°=15°．
故答案为15°．

先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC= ∠ABC，∠DCB= ∠ACB，在△ABC中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°﹣∠A）=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6= ∠MBC，∠1= ∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1= （∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F= ∠E．