Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、C（0，3）、B（2，3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由（4个坐标）．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线解析式，再表示出PQ，然后利用二次函数的最值问题解答；
（3）求出抛物线对称轴为直线x=

1

2

，然后分①AB是直角边时，写出以点A为直角顶点的直线AM的解析式，然后求解即可，再写出以点B为直角顶点的直线BM的解析式，然后求解即可，②AB是斜边时，设点M的坐标为（

1

2

，m），然后利用勾股定理列方程求出m的值，再写出点M的坐标即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、C（0，3）、B（2，3），
∴

a-b+c=0 c=3 4a+2b+c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

，
所以，抛物线解析式为y=-x²+2x+3；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

-k+b=0 2k+b=3

，
解得

k=1 b=1

，
所以，直线AB的解析式为y=x+1，
设点P的横坐标为x，∵PQ∥y轴，
∴点Q的横坐标为x，
∴PQ=（-x²+2x+3）-（x+1），
=-x²+x+2，
=-（x-

1

2

）²+

5

2

，
∵点P在线段AB上，
∴-1≤x≤2，
∴当x=

1

2

时，线段PQ的长度最大，最大值为

5

2

；

（3）由（2）可知，抛物线对称轴为直线x=

1

2

，
①AB是直角边时，若点A为直角顶点，则直线AM的解析式为y=-x-1，
当x=

1

2

时，y=-

1

2

-1=-

3

2

，
此时，点M的坐标为（

1

2

，-

3

2

），
若点B为直角顶点，则直线BM的解析式为y=-x+5，
当x=

1

2

时，y=-

1

2

+5=

9

2

，
此时，点M的坐标为（

1

2

，

9

2

），
②AB是斜边时，设点M的坐标为（

1

2

，m），
则AM²=（-1-

1

2

）²+m²=

9

4

+m²，BM²=（2-

1

2

）²+（m-3）²=

9

4

+（m-3）²，
由勾股定理得，AM²+BM²=AB²，
所以，

9

4

+m²+

9

4

+（m-3）²=（-1-2）²+（0-3）²，
整理得，4m²-12m-9=0，
解得m=

3±3 2

2

，
所以，点M的坐标为（

1

2

，

3+3 2

2

）或（

1

2

，

3-3 2

2

），
综上所述，抛物线的对称轴上存在点M（

1

2

，

9

2

）或（

1

2

，-

3

2

）或（

1

2

，

3+3 2

2

）或（

1

2

，

3-3 2

2

），使△ABM为直角三角形．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，直角三角形的性质，难点在于（2）列出PQ的表达式，（3）分情况讨论．