Question

如图，双曲线y₁=

k1

x

 与直线y₂=k₂x+5交于点P（1，4），Q（4，m），另一直线y₃=k₃x也经过点Q．
（1）求上述反比例函数和直线PQ的函数表达式；
（2）设该直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，连接OP、OQ，求△OPQ的面积；
（3）结合图象，直接写出当k₂x+5＞

k1

x

＞k₃x时x的取值范围．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）把P的坐标代入反比例函数解析式，即可求解析式，求出Q的坐标，即可求出直线的解析式；
（2）求出A、B的坐标，根据三角形的面积公式求出即可；
（3）根据交点坐标结合图形得出即可．

解答：解：（1）∵双曲线y₁=

k1

x

 过点P（1，4），
∴k₁=4×1=4，
∴反比例函数的解析式是y₁=

4

x

，
把Q（4，m）代入得：m=

4

4

=1，
即Q的坐标是（4，1），
把Q的坐标代入直线y₂=k₂x+5得：1=4k₂+5，
解得：k₂=-1，
即直线PQ的函数表达式是y=-x+5；

（2）∵y=-x+5，
∴当x=0时，y=5，
当y=0时，x=5，
即OA=5，OB=5，
∵P（1，4），Q（4，1），
∴△OPQ的面积S=S_△BOA-S_△BOP-S_△AOQ=

1

2

×5×5-

1

2

×5×1-

1

2

×5×1=7.5；

（3）把Q（4，1）代入直线y₃=k₃x得：k₃=

1

4

，
即直线为y₃=

1

4

x，
∴直线y₃=

1

4

x和反比例函数y₁=

4

x

的交点坐标为Q（4，1），（-4，-1），
∴从图象可知：写出当k₂x+5＞

k1

x

＞k₃x时x的取值范围是：1＜x＜4或x＜-4．

点评：本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生的计算能力和理解能力，题目比较好，难度适中．