Question

如图，CB∥OA，∠B=∠A=100°，E，F在CB上，且满足∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF．
（1）∠EOC=

 

°；
（2）若平行移动AC，那么∠OCB与∠OFB大小的比值是否会发生变化？若变化，试说明理由；若不变，请求出这个比值；
（3）在平行移动AC的过程中，若点P是射线OE上一点（点P不与O、E两点重合），过点P作PQ⊥BC于点Q，设∠OFB=α，请用含α的代数式表示∠EPQ，并说明理由．

Answer 1

考点：平行线的性质,三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）由BC∥OA得∠B+∠O=180°，所以∠O=180°-∠B=80°，则∠A+∠O=180°，根据平行线的判定即可得到OB∥AC；
（2）由OE平分∠BOF得到∠BOE=∠FOE，加上∠FOC=∠AOC，所以∠EOF+∠COF=

1

2

∠AOB=40°；
（3）分类讨论：当点P在线段OE上时，当点P在线段OE的延长线上时，
①根据三角形内角和，可得∠BOF=80°-α，根据角平分线的性质，可得∠EOF=40°-

1

2

α，根据三角形的外角的性质，可得∠OEB=40°+

1

2

α，根据直角三角形的性质，可得答案；
②根据三角形内角和，可得∠BOF=80°-α，根据角平分线的性质，可得∠EOF=40°-

1

2

α，根据对顶角的性质，可得∠PEQ=∠OEB=40°+

1

2

α，根据直角三角形的性质，可得答案．

解答：解：（1）40°；
（2）不变，理由如下：
∵CB∥OA，
∴∠OCB=∠COA，∠OFB=∠FOA，
∵∠FOC=∠AOC，
∴∠COA=

1

2

∠FOA，即∠OCB：∠OFB=1：2．
（3）∠EPQ=50°-

1

2

α，
理由：当点P在线段OE上时，如图1：
，
∵∠B+∠BOF+∠BFO=180°，且∠B=100°，∠OFB=α，
∴∠BOF=180°-100°-α=80°-α
∵OE平分∠BOF，∴∠EOF=

1

2

∠BOF
即∠EOF=

1

2

（80°-α）=40°-

1

2

α
∵∠OEB=∠EOF+∠OFB=40°-

1

2

α+α=40°+

1

2

α
∴∠EPQ=90°-∠OEB=90°-（40°+

1

2

∠α）=50°-

1

2

α
即∠EPQ=50°-

1

2

α
当点P在线段OE的延长线上时，如图2：
，
由上述说理过程知：∠OEB=40°+

1

2

α
∵∠PEQ=∠OEB=40°+

1

2

α
∴∠EPQ=90°-∠PEQ=90°-（40°+

1

2

∠α）=50°-

1

2

α
即∠EPQ=50°-

1

2

α
综上所述：∠EPQ=50°-

1

2

α．

点评：本题考查了平行线的性质，利用了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的性质，直角三角形的性质，综合性较强．