Question

AD是Rt△ABC斜边上的高，BE平分∠B交AD于点G，交AC于点E，过点E作EF⊥BC于点F，试证明：
（1）AG=AE；
（2）四边形AFEG是菱形．

Answer 1

考点：菱形的判定

专题：证明题

分析：（1）若要证明AG=AE，则问题可转化为证明∠AGE=∠AEG即可；
（2）首先证明四边形AGFE是平行四边形，再由（1）可知AG=AE，进而可证明四边形AEFG是菱形．

解答：证明：（1）∵∠C+DAC=90°，∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠C=∠BAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠AGE=∠BAD+∠ABE，∠AEG=∠C+∠CBE，
∴∠AGE=∠AEG，
∴AG=AE；
（2）∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，EA⊥AB，
∴EA=EF=AG，
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，
∵AG=EF，
∴四边形AGFE是平行四边形，
∵AG=AE，
∴四边形AEFG是菱形．

点评：本题考查了角平分线的性质定理，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质及菱形的判定，综合性较强，难度中等．