Question

【题目】如图，四边形纸片ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=CD=6， ∠C=60°．点E是边AD上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△HBE ．

（1）当点B、D、H三点在一直线上时，求线段AE的长；

（2）当点A的对称点H正好落在DC上时，有动点P从点H出发沿线段HB向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段BA向点A运动，速度均为每秒1个单位长度，连接PQ交折痕BE于点M．设运动时间为t秒．

① 探究：当时间t为何值时，△PBM为等腰三角形；

② 连接AM，请直接写出BM＋2AM的最小值是 ．

Answer 1

【答案】（1）AE=6-9；（2）①t=2s或s；②6

【解析】

（1）由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求AD=DB=3，AB=AD=3，由折叠的性质可得AB=BH=3，AE=EH，∠A=∠EHB=90°，由勾股定理可求解；

（2）①分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解；

②过点M作MN⊥BH于N，连接AN，由三角形三边关系可得BM+AM≥AN，当点A，点M，点N三点共线，且AN⊥BH时，BM+AM有最小值，即BM+2AM有最小值，由直角三角形的性质可求解．

解：（1）∵BC=CD=6，∠C=60°，

∴△BCD是等边三角形，

∴BD=BC=CD=6，∠C=∠DBC=∠BDC=60°，

∵AD∥BC，

∴∠DBC=∠ADB=60°，

∴∠ABD=30°，

∴AD=DB=3，AB=AD=3，

当点B、D、H三点在一直线上时，如图，

∵将△ABE沿BE翻折得到△HBE，

∴AB=BH=3，AE=EH，∠A=∠EHB=90°，

∴DH=6-3，

∵DE2=EH2+DH2，

∴（3-AE）2=AE2+（6-3）2，

∴AE=6-9

（2）①∵将△ABE沿BE翻折得到△HBE，当点A的对称点H正好落在DC上，且∠ADB=∠CDB=60°，

∴点E与点D重合，AB=BH=2，∠ABE=∠HBE=30°，

如图，若BM=PM时，则∠MPB=∠MBP=30°，

∴∠QMB=60°，

∴∠BQP=90°，

又∵∠QPB=30°，

∴BP=2QB，

∴2-t=t，

∴t=，

如图，若BM=BP时，则∠BPM=∠BMP=75°，

∴∠BQM=∠BMP-∠ABD=45°，

过点P作PF⊥AB于F，

∴△PFQ是等腰直角三角形，

∴PF=FQ，

∵∠PBF=60°，PF⊥AB，

∴∠BPF=30°，

∴BF=BP=（2-t），PF=BF=（2-t）=QF，

∵BQ=BF+QF，

∴t=（2-t）+（2-t），

∴t=2，

当BP=PM时，不合题意舍去，

综上所述：当t=2s或s时，△PBM为等腰三角形；

②如图，过点M作MN⊥BH于N，连接AN，

∵∠MBN=30°，MN⊥BH，

∴MN=BM，

∴BM+2AM=2（BM+AM），

∵MN+AM≥AN，

∴BM+AM≥AN，

∴当点A，点M，点N三点共线，且AN⊥BH时，BM+AM有最小值，即BM+2AM有最小值，

此时，AN⊥BH，∠ABN=60°，

∴BN=AB=，AN=BN=3，

∴BM+2AM最小值为6，

故答案为：6．