Question

【题目】如图1，是的内角，，

（1）平分，交于点，过点作，过点作，判断四边形的形状：________；

（2）旋转到，如图2，边交于点，连接，AE=AF．过点作，过点作．问：是否平分．若是请证明，若不是请说明理由．

（3）四边形在（2）的条件下，若恰好，如图3．连接并延长，交的延长线于点．求证：．

Answer 1

【答案】（1）菱形；（2）平分；理由见解析；（3）证明见解析

【解析】

（1）根据平行四边形的定义可得四边形ABFG为平行四边形，然后证出△FAB为等边三角形可得BF=BA，从而得出结论；

（2）过点作于N，作于M，先证出是等边三角形，然后利用SAS证出，从而得出，然后根据角平分线的判定即可证出结论；

（3）先证出平行四边形是菱形，从而得出，然后设、交于点，根据30°所对的直角边是斜边的一半即可得出，然后结合平行四边形的性质和等角对等边即可证出结论．

解：（1）∵，

∴四边形ABFG为平行四边形

∵中，

∴∠ABC=180°－∠DAB=120°

∵平分，

∴∠ABF==60°

∴∠AFB=180°－∠ABF－∠FAB=60°

∴△FAB为等边三角形

∴BF=BA

∴四边形ABFG为菱形

故答案为：菱形；

（2）答：平分

理由：过点作于N，作于M

∴

∵由题意得：， AE=AF

∴是等边三角形

∴

∴

∵

即：

∵在中，，

∴

∴

∴

∴

∴

∴

又∵，作

∴平分

（3）∵，

∴四边形是平行四边形

∵由（2）知

∴平行四边形是菱形

∴

∵

∴

∵

∴，

∴，

设、交于点

在中，

∵，

∴四边形为平行四边形

∴

∵，

∵四边形为平行四边形

∴，

∴四边形为平行四边形，

又∵

∴

∴

∵，

∴，

∵

∴

∴

∴