Question

【题目】如图，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点在第一象限的抛物线上，连接，.试问，在对称轴左侧的抛物线是否存在一点，满足？如果存在，请求出点的坐标：如果不存在，请明理由；

（3）存在正实数，（），当时，恰好满足，求，的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3），

【解析】

（1）根据待定系数法解答即可；

（2）由可得，连接，如图，则易得轴，进一步即得，在轴上取点，使，并延长交抛物线于点，然后根据三角形全等即可证明∠PBC＝∠DBC，求出直线BP解析式后与抛物线解析式联立即可求出P点坐标；

（3）由已知可变形得，由可得，于是可得m的范围，进而可确定，从而可根据二次函数的性质得：当时，y最大值，当x=n时，y最小值，于是可得关于m、n的方程，解方程并结合题意即得m、n的值．

解：（1）把点，代入抛物线，

得：，解得，

∴抛物线的解析式为；

（2）存在，理由如下：

∵，点在第一象限的抛物线上，

∴，∴，

∵，

∴，

∴，

连接，如图，则轴，

∴，

∴，

在轴上取点，使，并延长交抛物线于点，

则≌，

∴，

设直线解析式为：，把，代入得：，解得：，，

∴直线解析式为，

解方程组：，得，（舍去），

∴；

（3）由可得：，

∵，当时，恰好，

∴，即，

∴，即，

∴，

∵抛物线的对称轴是直线，且开口向下，

∴当时，随的增大而减小，

∴当时，y最大值，当x=n时，y最小值．

又，∴

将①整理，得，变形得：，即．

∵，∴，，

解得：，（舍去），，

同理，由②解得：（舍去），（舍去），；

综上所述，，．