Question

【题目】如图⑴，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm． 点M由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点N由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s ．连接MN，设运动时间为t(s)﹙0＜t＜4﹚，解答下列问题：

⑴设△AMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；

⑵如图⑵，连接MC，将△MNC沿NC翻折，得到四边形MNPC,当四边形MNPC为菱形时，求t的值；

⑶当t的值为 ，△AMN是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）t=；（3）或或

【解析】

（1）如图过点M作MD⊥AC于点D，利用相似三角形的性质求出MD即可解决问题；

（2）连接PM,交AC于D，，当四边形MNPC为菱形时，ND=，即可用t表示AD，再结合第一问的相似可以用另外一个含t式子表示AD，列方程计算即可；

（3）分别用t表示出AP、AQ、PQ，再分三种情况讨论：①当AQ＝AP②当PQ＝AQ③当PQ＝AP，再分别计算即可．

解：⑴过点M作MD⊥AC于点D．

∵,；

∴AB=10cm．BM=AN=2t

∴AM=10-2t．

∵△ADM∽△ACB

∴即

∴

∴

又

∴S的最大值是；

⑵连接PM,交AC于D，

∵四边形MNPC是菱形，则MP⊥NC,ND=CD

∵CN=8-2t

∴ND=4-t

∴AD=2t+4-t=t+4

由⑴知AD=

∴=t+4

∴t=；

（3）由（1）知，PE＝﹣t+3，与（2）同理得：QE＝AE﹣AQ＝﹣t+4

∴PQ＝＝＝，

在△APQ中，

①当AQ＝AP，即t＝5﹣t时，解得：t1＝；

②当PQ＝AQ，即＝t时，解得：t2＝，t3＝5；

③当PQ＝AP，即＝5﹣t时，解得：t4＝0，t5＝；

∵0＜t＜4，

∴t3＝5，t4＝0不合题意，舍去，

∴当t为s或s或s时，△APQ是等腰三角形．