【题目】如图,已知⊙C过菱形ABCD的三个顶点B,A,D,连结BD,过点A作AE∥BD交射线CB于点E.
(1)求证:AE是⊙C的切线.
(2)若半径为2,求图中线段AE、线段BE和围成的部分的面积.
(3)在(2)的条件下,在⊙C上取点F,连结AF,使∠DAF=15°,求点F到直线AD的距离.
【答案】(1)见解析;(2)2﹣π;(3)距离为2﹣或﹣1
【解析】
(1)连接AC.证明AE⊥AC即可解决问题;
(2)证明△ABC是等边三角形,推出∠ACB=60°,AE=ACtan60°=,根据S阴=S△AEC﹣S扇形ACB求解即可;
(3)分两种情形:①如图2中,当点F在上时.②如图3中,当点F在优弧上时,分别求解即可.
(1)证明:如图1中,连结AC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
又∵BD∥AE,
∴AC⊥AE,
∴AE是⊙O的切线;
(2)如图1中,∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,
又∵AC=BC,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∵AC=2,
∴AE=ACtan60°=,
∴S阴=S△AEC﹣S扇形ACB=×2×﹣=2﹣π;
(3)①如图2中,当点F在上时,
∵∠DAF=15°,
∴∠DCF=30°,
∵∠ACD=60°,
∴∠ACF=∠FCD,
∴点F是弧AD的中点,
∴CF⊥AD,
∴点F到直线AD的距离=CF﹣CAcos30°=2﹣;
②如图3中,当点F在优弧上时,
∵∠DAF=15°,
∴∠DCF=30°,
过点C作CG⊥AD于D,过点F作FH⊥CG于H,
可得∠AFH=15°,∠HFC=30°,
∴CH=1,
∴点F到直线AD的距离=CG﹣CH=ACcos30°﹣CH=﹣1,
综上所述,满足条件的点F到直线AD的距离为2﹣或﹣1.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.
(1)求证:△ADF∽△DEC;
(2)若AB=4,AD=3,AE=3,求AF的长;
(3)若CD=CE,则直线CD是以点E为圆心,AE长为半径的圆的切线.试证明之.
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【题目】如图,在中,.点为的中点,点为射线上一点,将绕点顺时针旋转得到,设,与重叠部分的面积为,关于的函数图象如图2所示(其中,,,时,函数的解析式不同).则__.
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【题目】已知:如图,△ABC中,AB=AC,D,E分别是边BC,AC上的点.且BD=EC,∠ADE=∠B.
(1)求证:AD=DE.
(2)若∠ADE=40°,求∠ADB的度数.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+1的顶点在直线y=kx+1上,对称轴为直线x=1,有以下四个结论:①ab<0,②b<,③a=﹣k,④当0<x<1时,ax+b>k,其中正确的结论是( )
A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为4,将△ADE和△CDF分别沿直线DE和DF折叠后,点A和点C同时落在点H处,且E是AB中点,射线DH交AC于G,交CB于M,则GH的长是__.
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【题目】如图,在ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD′ E处,AD′ 与CE交于点F,若∠B=55°,∠DAE=20°,则∠FED′ 的大小为( )
A.20°B.30°
C.35°D.45°
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【题目】如图⑴,在△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm. 点M由点B出发沿BA方向向点A匀速运动,同时点N由点A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为2cm/s .连接MN,设运动时间为t(s)﹙0<t<4﹚,解答下列问题:
⑴设△AMN的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;
⑵如图⑵,连接MC,将△MNC沿NC翻折,得到四边形MNPC,当四边形MNPC为菱形时,求t的值;
⑶当t的值为 ,△AMN是等腰三角形.
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【题目】如图,菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上,O是坐标原点,tan∠AOC=,反比例函数y=﹣的图象经过点C,与AB交与点D,则△COD的面积的值等于_____;
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