Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t s，解答下列问题：

（1）当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？

（2）设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；

（3）当△PQB为等腰三角形时，求t的值．

Answer 1

【答案】(1)、5；(2)、；(3)、t=s，s或t=4s

【解析】试题分析：(1)、通过比较线段AB，BC的大小，找出较短的线段，根据速度公式可以直接求得；(2)、由已知条件，把△PQB的边QB用含t的代数式表示出来，三角形的高可由相似三角形的性质也用含t的代数式表示出来，代入三角形的面积公式可得到一个二次函数，即可求出S的最值；(3)、根据等腰三角形的性质和余弦公式列出等式求解，即可求的结论．

试题解析：(1)、作CE⊥AB于E， ∵DC∥AB，DA⊥AB， ∴四边形AECD是矩形，

∴AE=CD=5，CE=AD=4， ∴BE=3， ∴BC=5， ∴BC＜AB，

∴P到C时，P、Q同时停止运动， ∴t=（秒）， 即t=5秒时，P，Q两点同时停止运动．

(2)、由题意知，AQ=BP=t， ∴QB=8﹣t， 作PF⊥QB于F，则△BPF～△BCE，

∴，即， ∴BF=，

∴S=QBPF=×（8﹣t）=﹣（t﹣4）2+（0＜t≤5），

∵﹣＜0， ∴S有最大值，当t=4时，S的最大值是；

(3)、∵cos∠B=， ①当PQ=PB时（如图2所示），则BG=BQ，==，解得t=s，

②当PQ=BQ时（如图3所示），则BG=PB，==，解得t=s，

③当BP=BQ时（如图4所示），则8﹣t=t， 解得：t=4．

综上所述：当t=s，s或t=4s时，△PQB为等腰三角形．