Question

【题目】已知：等腰，，以为直径的，分别交、于点、点．

（1）如图1，求证：点为弧的中点；

（2）如图2，点为直径上一点，过点作，交过点且垂直于的直线于点，连接，，设，，求与的函数关系式；

（3）如图3，在（2）的条件下，点为弧上一点，连接交于点，延长交于点，若，，，求弦的长．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）m=n+45；（3）

【解析】

（1）连接AC，根据题意知，∠ACB=90°，由AB=AE，等腰三角形三线合一可得AC平分∠BAE，相等的圆周角所对的弧相等即可证得；

（2）根据FH∥BC，推出∠ABE=∠BFH=∠CED=m°，由外角性质知DFB=∠A+∠ADF，利用三角形内角和180°以及∠DFH=135°，代换可得m与n的函数关系式；

（3）设∠DAC=∠BAC=，由（2）的结论可推出MN⊥AD，通过△BER≌△FGH，FG=DE，再利用勾股定理计算WM，可得出MN=2WM即可得结果．

（1）连接AC，

∵ AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∵AB=AE，

∴AC平分∠BAE，

∴∠BAC=∠EAC，

∴点C是弧BD的中点；

（2）∵AB=AE，FH∥BC，

∴∠BFH=∠EBA=∠E=m°，∠A=180°-2m°，

∵∠ADF=n°，

∴∠BFD=∠A+∠ADF=180°-2m°+n°，

又∵∠DFH=135°，∠DFH=∠BFH+∠BFD，

∴135°=m°+180°-2m°+n°，

∴m=45+n，

∴m与n的函数关系式为：m=45+n，

故答案为：m=45+n；

（3）设∠DAC=∠BAC=，

由（2）∠CED=∠ADF+45°，

∴∠ADF=90°--45°=45°-，

∴∠DFB=45°-+2=45°+，

∵∠BFM+2∠BFD=180°，

∴∠BFM=90°-2，

∵∠BFH=∠AFQ=90°-，

∴∠HFG=90°--（90°-2）=，

∴∠BFG+∠E=180°，

∴∠ESM=90°，即MN⊥AD，

导角：∠FDB=∠DFB=45°+，

∴BF=BD，

又∵∠E=∠BFH=90°-，

∴∠DBR=∠FBH=，

∴△BDR≌△BHF，

∴FH=DR，

可推出△BER≌△FGH，

∴FG=DE，

∵FG：AB=2：5，

∴DE：AE=2：5，

设DE=2，AE=5=AB，

∴AD=3，BD=4，

∴tan2=，tan=，

∴tan∠ADF=tan（45°-）=，

∵CB-FH=CK=QF=4，

∴AF=4，

∴SF=×4=，

AS=×3=，

DS=×3=，

AD=AS+DS=12，

∴TD-AD=6，

∴ST=OW=DS-DT=，

∴AB=×5=20，

∴r=10，

∴WM==，

∴，

故答案为：．