Question

【题目】如图，在△ABC 中，∠C=90°
（1）利用尺规作∠B 的角平分线交AC于D，以BD为直径作⊙O交AB于E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合应用：在（1）的条件下，连接DE ①求证：CD=DE；
②若sinA= ，AC=6，求AD．

Answer 1

【答案】
（1）解：
（2）解：①∵BD为⊙O的直径；

∴∠BED=90°，

又∵∠C=90°；

∴DE⊥AB，DC⊥BC；

又∵BD平分∠ABC；

∴DE=DC；

②在Rt△ADE中，sinA=

∵sinA=

∴ =

设DC=DE=3x，AD=5x

∵AC=AD+DC

∴3x+5x=6x=

AD=5x=5× =

【解析】（1）根据题意作出图形即可；（2）有BD为⊙O的直径；得到∠BED=90°，根据角平分线的性质即可得到结论；（3）解直角三角形即可得到结论．
【考点精析】掌握圆周角定理和解直角三角形是解答本题的根本，需要知道顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．