Question

2．定义：图象开口方向相同，且都经过同一点的所有二次函数称为共点二次函数系，比如函数y=2x²+bx+c，当b+c=1时，它们的图象都经过定点（1，3），且开口都向上，称所有二次函数y=2x²+bx+c为共点（1，3）开口向上的二次函数系．
（1）已知二次函数y=ax²+bx+c（c≠0）与y=x²-2x+n是共点二次函数，当a+b+c=1时，求n的值；
（2）已知函数y=x²+bx+c图象过定点（-2，1），且开口向上的共点二次函数系，试求该二次函数系的最小值能够达到的最大结果．

Answer 1

分析 （1）由当x=1时函数值为y=a+b+c=1，得出共点坐标为（1，1），代入y=x²-2x+n即可求得n；
（2）把（-2，1）代入y=x²+bx+c求得c=2b-3，根据最小值的公式得出最小值=-$\frac{1}{4}$（b-4）²+1≤1，即可求得最小值能够达到的最大结果．

解答 解（1）二次函数y=ax²+bx+c（c≠0）当x=1时y=a+b+c，
∵a+b+c=1，
∴共点为（1，1），
代入y=x²-2x+n得，1=1-2+n，解得n=2；
（2）把（-2，1）代入y=x²+bx+c得，1=4-2b+c，
则c=2b-3，
二次函数的最小值为$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{4（2b-3）-{b}^{2}}{4}$=-$\frac{1}{4}$b²+2b-3=-$\frac{1}{4}$（b-4）²+1≤1，
故该二次函数系的最小值能够达到的最大结果是1．

点评 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数的顶点公式是解题的关键．