Question

【题目】在ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交直线 DC 于点 F，∠D=120°．

（1）如图 1，若 AD=6，求△ADF 的面积；

（2）如图 2，过点 F 作 FG∥CE，FG＝CE，连结 DB、DG，求证：BD=DG．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

(1) 过点F作AD的垂线，交AD的延长线于G，利用平行线和角平分线的性质证明AD=DF，在中利用勾股定理求得GF.根据三角形面积公式计算面积即可；

（2）连接BG、EG、GC，先证明四边形ECFG为菱形，再根据∠ADF=120°，可证明，由此可得出BG=DG，再证明△BDG为等边三角形即可得出结论.

（1）解：如图1，过点F作AD的垂线，交AD的延长线于G，

∵AF平分∠BAD

∵四边形ABCD为平行四边形

∴∠DFG=30°，

.

(2)证明：连接BG、EG、GC

∴四边形ECFG为平行四边形

∴∠2=∠CEF

∵∠2=∠3

∴∠3=∠CEF

∴CE=FC

∴为菱形，

∴

在△BCG和△DFG中

即

即

∴△BDG为等边三角形

∴BD=DG.