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【题目】如图,抛物线y=x2+bx2x轴交于AB两点,与y轴交于C点,且A(一10).

⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

⑵判断ABC的形状,证明你的结论;

⑶点M(m0)x轴上的一个动点,当CM+DM的值最小时,求m的值.

【答案】1)抛物线的解析式为y=x2-x-2

顶点D的坐标为 (, -).

2)△ABC是直角三角形,理由见解析;

3.

【解析】

1)把点A坐标代入抛物线即可得解析式,从而求得顶点坐标;

2)分别计算出三条边的长度,符合勾股定理可知其是直角三角形;

3)作出点C关于x轴的对称点C′,则C′02),OC′=2,连接C′Dx轴于点M,根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC + MD的值最小.

解:(1)∵点A-10)在抛物线y=x2 +bx-2

× (-1 )2 +b× (-1) –2 = 0

解得b =

∴抛物线的解析式为y=x2-x-2.

y=x2-x-2 =(x2 -3x- 4 ) =(x-)2-,

∴顶点D的坐标为 (, -).

2)当x = 0y = -2,

C0-2),OC = 2

y = 0时,x2-x-2 = 0 x1 = -1, x2 = 4

B (4,0)

OA =1, OB = 4, AB = 5.

AB2 = 25, AC2 =OA2 +OC2 = 5, BC2 =OC2 +OB2 = 20,

AC2 +BC2 =AB2.

∴△ABC是直角三角形.

3)作出点C关于x轴的对称点C,则C02),OC′=2,连接C′Dx轴于点M,根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC +MD的值最小.

解法一:设抛物线的对称轴交x轴于点E.

EDy, ∴∠OC′M=EDM,C′OM=DEM

∴△C′OM∽△DEM.

,∴m=

解法二:设直线C′D的解析式为y =kx +n ,

,解得n = 2.

.

∴当y = 0时,

.

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