Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝﹣x﹣2相交于A（﹣2，0），B（m，﹣6）两点，且抛物线经过点C （5，0）．点P是直线下方的抛物线上异于A、B的动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连结PA、PB、BD，当S△ADBS△PAB时，求S△PAB；

（3）是否存在点P，使得△PBE为直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣3x﹣10；（2）S△PAB＝；（3）存在，满足条件点P的坐标为（0，﹣10）或（﹣1，6）．

【解析】

（1）因为抛物线经过A（-2，0），C（5，0），可以假设抛物线的解析式y=a（x+2）（x-5），把B（4，-6）代入y=a（x+2）（x-5），可得a=1解决问题；

（2）设P（x，x2-3x-10），根据S△ADBS△PAB，构建方程解决问题即可；

（3）分两种情形：①∠PBE=90°．②∠BPE=90°．分别求解即可解决问题．

（1）将B（m，﹣6）代入y＝﹣x﹣2得-6＝﹣m﹣2，解得m=4 ，

∴B（4，﹣6），

∵抛物线经过A（﹣2，0），C（5，0），

∴可以假设抛物线的解析式y＝a（x+2）（x﹣5），

把B（4，﹣6）代入y＝a（x+2）（x﹣5），可得a＝1，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣10．

（2）设P（x，x2﹣3x﹣10），

∵直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，

∴D（x，0），E（x，﹣x﹣2），

∴PE＝﹣x2+2x+8，

∵S△ADB═S△PAB，

∴×（x+2）×6＝××（﹣x2+2x+8）×6，

整理得：2x2﹣x﹣10＝0，

解得x＝或﹣2（舍去）．

∴PE＝，

∴S△PAB＝×6×＝．

（3）①当∠PBE＝90°时，PB⊥AB，

∴设直线PB的解析式y＝x﹣b，

将B（4，﹣6）代入解得b=10，

∴直线PB的解析式y＝x﹣10，

由，解得或（舍去），

∴p（0，﹣10）．

②当∠BPE＝90°时，PB∥x轴，

由﹣6＝x2﹣3x﹣10，解得x＝4（舍去）或﹣1，

∴p（﹣1，6），

综上所述，满足条件点P的坐标为（0，﹣10）或（﹣1，6）．