【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.
(1)求证:DF为⊙O的切线;
(2)求证:F为CE的中点;
(3)若⊙O的半径为3,∠CDF=22.5°,求阴影部分的面积;
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)连接AD,OD,先根据圆周角定理得出,再由三线合一得出D是BC的中点,再证得,最后证得DF⊥OD即可;
(2)先根据圆内接四边形的性质得出,再根据等腰三角形的性质和等量代换求得,再根据三线合一即可证明F为CE的中点;
(3)首先求出的度数,然后根据圆内接四边形的性质得出的度数,再得出,最后根据阴影部分的面积=扇形AOE的面积-的面积求解即可.
(1)连接AD,OD,如图1所示:
∵AB是直径
∴
∴
∵AB=AC
∴D是BC的中点
∵O是AB的中点
∴OD是中位线
∴
∵DF⊥AC
∴DF⊥OD
∴DF为⊙O的切线;
(2)连接DE,如图2所示:
∵四边形ABDE是圆的内接四边形
∴
∵AB=AC
∴
∴
∵DF⊥AC
∴F为CE的中点;
(3)连接DE、OE、BE,如图3所示:
由(2)中可知DF为的角平分线,
∵,
∴,
∴,
∵AB是直径,
∴,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∴.
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【题目】随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出,全社会对空气污染问题越来越重视,空气净化器的销量也大增,商社电器从厂家购进了A,B两种型号的空气净化器,已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元,用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同.
(1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元?
(2)在销售过程中,A型空气净化器因为净化能力强,噪音小而更受消费者的欢迎.为了增大B型空气净化器的销量,商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售,经市场调查,当B型空气净化器的售价为1800元时,每天可卖出4台,在此基础上,售价每降低50元,每天将多售出1台,如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元,请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元?
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【题目】如图,菱形ABCD中,EF⊥AC,垂足为点H,分别交AD、AB及CB的延长线交于点E、M、F,且AE:FB=1:2,则AH:AC的值为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,平行四边形ABCD,DE交BC于F,交AB的延长线于E,且∠EDB=∠C.
(1)求证:△ADE∽△DBE;
(2)若DE=9cm,AE=12cm,求DC的长.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,动点M以每秒1cm的速度从点B向点C移动;同时动点N以3cm的速度从点C向A移动,当点N到达点A时,两点都停止移动,连接MN,设移动时间为t秒.
(1)当t为何值时,S△MNC=S四边形ABMN?
(2)当t为何值时,△MNC与△ABC相似?
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【题目】.Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠B=50°,点D在边BC上,BD=2CD(图4).把△ABC绕着点D逆时针旋转m(0<m<180)度后,如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上,那么m=_________.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出下列结论:① b2-4ac>0;② 2a+b<0;③ 4a-2b+c=0;④ a︰b︰c= -1︰2︰3.其中正确的是【 】
(A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④
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【题目】在ABCD 中,∠BAD 的平分线交直线 BC 于点 E,交直线 DC 于点 F,∠D=120°.
(1)如图 1,若 AD=6,求△ADF 的面积;
(2)如图 2,过点 F 作 FG∥CE,FG=CE,连结 DB、DG,求证:BD=DG.
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【题目】如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合,那么称点P与点Q关于点M对称,定点M叫做对称中心,此时,点M是线段PQ的中点.如图,在直角坐标系中,△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为(1,0)、(0,1)、(0,0),点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称,点P1与点P2关于点A对称,点P2与点P3关于点B对称,点P3与点P4关于点O对称,点P4与点P5关于点A对称,点P5与点P6关于点B对称,点P6与点P7关于点O对称,…,且这些对称中心依次循环,已知P1的坐标是(1,1),点P2019的坐标为_____.
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