Question

【题目】如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，半径为5的圆⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于D、E两点．

（1）若直线AB交劣弧 于P、Q两点（异于C、D）
①当P点坐标为（3，4）时，求b值；
②求∠CPE的度数，并用含b的代数式表示弦PQ的长（写出b的取值范围）；
（2）当b=6时，线段AB上存在几个点F，使∠CFE=45°？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①∵点P（3，4）在直线AB上，

∴﹣3+b=4，

∴b=7，②∵∠COE=90°，

∴∠CPE= ∠COE=45°，

如图1，过点O作OM⊥AB于M，连接OP，

∵直线AB的解析式为y=﹣x+b①，

∴直线OM的解析式为y=x②，

联立①②解得点M（ b， b），

∴OM2= b2，

在Rt△POM中，OP=5，根据勾股定理得，PM= = ，

∴PQ=2PM= ，

当点P和点D重合时，b=5

当OM=5时，b=﹣5 （舍）或b=5 ，

∴5≤b＜5 ，

即：PQ= （5≤b＜5 ）

（2）

解：当b=6时，线段AB上存在2个点F，使∠CFE=45°，

理由：由（1）②知，点F在劣弧 上时，∠CFE=45°，

由（1）②知，OM=5时，即：b=5 时，直线AB与⊙O相切，

当点B与点D重合时，b=5，

∴当b=6时，在5到5 之间，

∴线段AB与⊙Q有两个交点，

即：当b=6时，线段AB上存在2个点F，使∠CFE=45°．

【解析】（1）①直接将点P的坐标代入直线y=﹣x+b中，即可求出b的值，②先求出直线OM的解析式，即可得出点M的坐标，进而得出OM，再用勾股定理即可得出PM，即可得出PQ；（2）先判断出点F是劣弧 上时，∠CFE=45°，进而判断b=6是线段AB与⊙O的交点的个数即可得出结论．