Question

10．△ABC中，∠ABC=60°，AE、BF是角平分线，且AE、BF交于点P，若AB=6，AP=3PE，则AC长为$\frac{21}{4}$．

Answer 1

分析 延长CP交AB于D，在AC上截取AG=AD，如图，先利用点P为△ABC的内心计算出∠APC=120°，则∠1=∠APD=60°，再证明△APD≌△AGD得到∠APG=∠APD=60°，所以∠2=60°，接着证明△CPE≌△CPG得到CE=CG，根据角平分线的性质定理由CP为∠ACE的角平分线得到$\frac{CA}{CE}$=$\frac{AP}{PE}$=3，设CE=x，则AC=3x，CG=x，AD=AG=3x-x=2x，然后由BP平分∠ABE得到$\frac{AB}{BE}$=$\frac{AP}{PE}$=3，则BE=2，最后由CD平分∠ACB得$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AD}{BD}$，即$\frac{3x}{2+x}$=$\frac{2x}{6-2x}$，利用比例性质求出x即可得到AC的长．

解答 解：延长CP交AB于D，在AC上截取AG=AD，如图，
∵角平分线AE、BF交于点P，
∴点P为△ABC的内心，
∴∠APC=90°+$\frac{1}{2}$∠ABC=90°+$\frac{1}{2}$×60°=120°，
∴∠1=∠APD=60°，
在△APD和△AGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AP}\\{∠DAP=∠GAP}\\{AD=AG}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△AGD，
∴∠APG=∠APD=60°，
∴∠2=60°，
在△CPE和△CPG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{CP=CP}\\{∠PCE=∠PCG}\end{array}\right.$，
∴△CPE≌△CPG，
∴CE=CG，
∵CP为∠ACE的角平分线，
∴$\frac{CA}{CE}$=$\frac{AP}{PE}$=3，
设CE=x，则AC=3x，CG=x，
∴AD=AG=3x-x=2x，
∵BP平分∠ABE，
∴$\frac{AB}{BE}$=$\frac{AP}{PE}$=3，
∴BE=$\frac{6}{3}$=2，
∵CD平分∠ACB，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AD}{BD}$，即$\frac{3x}{2+x}$=$\frac{2x}{6-2x}$，解得x=$\frac{7}{4}$，
∴AC=3x=$\frac{21}{4}$．
故答案为$\frac{21}{4}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质定理和三角形全等的判定与性质．