Question

【题目】已知：如图，在□ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，过点F作FG⊥BF交BC的延长线于点G．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）如果AB= 2，∠BAD=60°，求FG的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据平行四边形的性质证得AB=BE=AF，得到四边形ABEF是平行四边形，再根据邻边相等证得结论；

（2）根据菱形的性质求得∠BAE=30°，OB=OF=1，再根据FG⊥BF求出∠G==30°，得到BG=4，根据勾股定理求出FG.

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC.

∴∠DAE=∠AEB.

∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠BAE.

∴∠AEB =∠BAE.

∴AB=BE.

同理：AB=AF.

∴AF=BE，AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形.

又∵AB=BE，

∴四边形ABEF是菱形.

（2） ∵四边形ABEF是菱形，

∴AE⊥BF，OA=OE，OB=OF，AE平分∠BAD，

∵AB= 2，∠BAD=60°，

∴∠BAE=30°，∠FBE=∠ABF=60°,

∴OB=OF=1，

∴BF=2，

又∵FG⊥BF，

∴∠BFG==90°，

∴∠G==30°，

∴BG=4，

∴．